但是四次的就不好办了。。。还是这三个条件，到最后还有一个是自由变量。。。 同样的n次情况有n - 3个自由变量，非常难办。。。不信可以试试。。。。
连续放缩条件：
对于F(x_1,x_2,...,x_n) ≥ G(x_1,x_2,...,x_n)的证明过程中涉及到放缩f且能取得等号，则
一般的，对于一组连续放缩： 可以取等，则有：
这给了放缩法最重要的参考条件——根据取等条件放缩。
（四）杂谈 关于配方法。。。
（这讲里面说的是关于变量在整个实数域上的配方，而不是条件配方）
上面说的都是初等不等式，事实上，还有什么微分不等式，积分不等式，图论不等式等等等等。。。一个人一辈子要是能都有研究，那可真是太厉害了。。。。反正我是做不到也不想做到。。第一，我没兴趣。第二，这最重要，我可是学化学的！！！
举几个有关配方的例子：
对于初等不等式，最重要的原理就是： 对于实数x，x^2 ≥ 0.
举个例子，对于实数x , y ，证明x^2 + y^2 ≥ 2 x y . 显而易见x^2 + y^2 - 2 x y = (x - y)^2 ≥ 0 . 这个例子真是太简单了，你快要笑话我了。。。 再举一个，对于实数x , y，证明x^2 + y^2 ≥ x y . 证明一：x^2 + y^2 - x y = (x - 1/2 y)^2 + 3/4 y^2 ≥ 0 .
证明二：x^2 + y^2 - x y =
一看就霸气侧露。。。 证明三
：x^2 + y^2 -
x y
=
这是由“自由度”引出的无穷个小证明，事实上，配方常常是多种多样的。。。 再举个栗子：对于实数x , y ，-2 ≤ k ≤ 2 ，证明x^2 + y^2 ≥ k x y . x^2 + y^2 - k x y =
当然，你可能觉得这都太无聊了。。。我也是，我考场上证明绝对不用这种损招。。 配方的方法呢，我认为有三个：基础流配方，直觉配方，综合配方。。 事实上还有SOS定理，那是一种不够直截了当的方法，所以后面再说。
所谓基础流，就是老老实实算，老老实实配，应用一些基础的东西，比如拉格朗日(Lagrange)恒等式：
给出它的二元形式和三元形式：
二元：(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) - (a c + b d)^2 = (b c - a d)^2 三元：(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) - (a x + b y + c z)^2
= (a y - b x)^2 + (a z - c x)^2 + (b x - a y)^2 + (b z - c y)^2 + (c x - a z)^2 + (c y - b z)^2 待定系数法配方：
以上面证明证明x^2 + y^2 ≥ 2 x y的第二种方法为例，设：
x^2 + y^2 - x y = (a x - b y)^2 + (a y - b x)^2 = (a^2 + b^2) x^2 - 4 a b x y + (a^2 + b^2) y^2 则有：a^2 + b^2 = 1 & - 4 a b = -1，一共有四组解，其中一组就是上面那个。。。 待定系数配方还会在后面讲到。在此分散难度，只做介绍。
小Q代数变换提取因式配凑方法，那是小Q等人的绝技，我学不来。。。 利用矩阵方法半定规划。。。。我讲了你能明白吗。。。更重要的是，我能讲明白吗。。。。。
直觉配方，就是一种传说中的神秘方法，只可意会不可言传，持有配方直觉的神秘之人，可以凭空配方，百步穿杨，无一失手，堪称奇迹！
比如说：
虽说是直觉配方，但也是有一定方向，第一，这种差分配方法，若是能取等，那么：
这对初中生也是很显然的。。。
第二，对于一个齐k次式，配出来的结果也应该是齐k次式。 这两个原理虽说简单，但是很基本，也很好用。。。。
综合配方就是先直觉猜出点什么东西，再基础配方优化。。。 这个举不了例子。。。我好像没怎么用过。。。
比如说证明拉格朗日恒等式时，将式子逐步调整成熟悉的平方和形式（只能靠经验）：
今天讨论的都是定义在R上的变量，对于有限制的变量，比较复杂， 1.配方法的理论基础在希尔伯特（Hilbert）第十七问题：
为实系数多项式，且对每个
都有
，
则 可以表成实系数有理函数的平方和。
这个问题在1927被阿廷（Emil Artin）解决，他的证明是简洁但高深的。。。我们这个定理知道就好。。。 2.利用矩阵方法配方。
实多项式F(x)可以表达成：
F(x) = z^T Q z
Q = L^T L
我们还是举例说明吧。。。
根据一点线性代数的方法可以求得：
所以：
我们试图证明这样一个式子来说明点什么： 对于实数 x , y , z ，证明：
x^2 + y^2 + z^2 - x y - y z - x z ≥ 0. 注意到：
这是这样来的： >> pvar x y z;
>> p = x^2 + y^2 + z^2 - x*y - y*z - x*z; >> [Q,Z,D]=findsos(p,'R'); Size: 9 6
SeDuMi 1.3 by AdvOL, 2005-2008 and Jos F. Sturm, 1998-2003.
Alg = 2: xz-corrector, Adaptive Step-Differentiation, theta = 0.250, beta = 0.500 eqs m = 6, order n = 4, dim = 10, blocks = 2 nnz(A) = 6 + 0, nnz(ADA) = 36, nnz(L) = 21 it : b*y gap delta rate t/tP* t/tD* feas cg cg prec 0 : 3.13E+00 0.000
1 : 1.11E-02 1.70E-02 0.000 0.0055 0.9990 0.9990 1.35 1 1 1.4E-02 2 : -6.72E-10 5.05E-09 0.000 0.0000 1.0000 1.0000 1.00 1 1 5.6E-07 3 : -9.25E-16 1.05E-14 0.000 0.0000 1.0000 1.0000 1.00 1 1 1.0E-12
iter seconds digits c*x b*y
3 0.1 14.9 0.0000000000e+00 -9.2518588107e-16
|Ax-b| = 6.6e-15, [Ay-c]_+ = 0.0E+00, |x|= 2.1e+00, |y|= 6.8e-01
Detailed timing (sec) Pre IPM Post
4.003E-03 2.200E-02 1.006E-03 Max-norms: ||b||=1, ||c|| = 0,
Cholesky |add|=0, |skip| = 1, ||L.L|| = 2.
Residual norm: 6.6075e-15
iter: 3
feasratio: 1.0000 pinf: 0 dinf: 0 numerr: 0
timing: [0.0040 0.0220 0.0010] wallsec: 0.0270 cpusec: 0.0625
>> D D =
[ 0.8165*x - 0.40825*y - 0.40825*z] [ -0.40825*x + 0.8165*y - 0.40825*z] [ -0.40825*x - 0.40825*y + 0.8165*z]
这个比较容易，仔细看看0.8165就是\\sqrt{\\frac{2}{3}}，0.40825就是\\frac{1}{\\sqrt{6}}。。。 当然，我可不知道老先生是怎么优化的。。。MATLAB毕竟是数值软件，用的是浮点数，能变成他的那一串漂亮的配方也真是需要点技术。。。。。否则啊，比如第一个：
真让人无处下手。。。。
有很多人，认为陈计先生的证明都是索然无味的，没有技术的，只要用软件就可以完成。这是完全错误的，诚然，陈计先生的证明多数依靠了计算机，但不是你有计算机，我有计算机就可以实现的。他有许多精巧的想法是可贵的，值得我们学习研究。
五）差分代换。。。
提到差分，我们觉得不太熟悉，但是微分我们很熟悉。。。这事实上有点本末倒置的感觉。差分，又名差分函数或差分运算，是数学中的一个概念。它将原函数f(x)映射到 f(x+z)-f(x+b)。它和微分之间千丝万缕的联系不言而喻。。。 比起风姿卓越的差分配方，差分代换就好像一个破落户，一个大恶魔，大家看到了就想骂街。。。他惨无人道的破坏人见人爱的轮换性，非常符合鲁迅给悲剧的定义：“悲剧就是把美好的东西撕碎给你看，然而，把已经撕碎的东西再从新拼回给你看，那种不可名状的淡淡忧伤令人彷徨不安。” 但是，差分代换很多时候十分有效且简洁明了，应当了解。
看看这种差分代换（增量代换）方法的基本步骤，暂且以三元为例： 1.分类①x ≥ y ≥ z②y ≥ z ≥ x③z ≥ x ≥ y④x ≥ z ≥ y⑤y ≥ x ≥ z⑥z ≥ y ≥ x.
常常可以根据对称性少讨论几个，轮换对称时可以设最大变量，从而固定一个只需讨论①x ≥ y ≥ z②y ≥ z ≥ x，完全对称时，可以完全设序，只讨论一个就够了。
2.记每一种情况为a ≥ b ≥ c，则设b = c + s , a = c + s + t ，其中s ≥ 0 , t ≥ 0. 3.代换，f(a , b , c) = f(c + s + t , c + s , c).
4.整理，一般为合并同类项，若合并之后还有减号，试着配方，或者再差分一次试试。 差分代换的适用范围也比配方小，代换之后不一定行，没准还是带减号的，这很麻烦。。。 不过这不妨碍我们用它，要有信念，行！ 举个例子：
证明三元三次形式的Schur不等式：
当然，Schur不等式的普遍形式的证明也是差分代换的思想。。。 证明三元形式的Schur不等式： 对于正数x , y , z , t 有： 证明：
对于带参数的不等式，若利用差分代换方法求k的范围（即求解系数列表），结果是充分的，必要性需要另外证明。。。比如说上面的三元四次轮换对称型，求解就是充分不必要的。。但是这毕竟是一个不错的方法，现在举一个用差分代换求k范围的简单例子：
对于正数a , b , c 和 k ≥ 1/2 ，证明：
k(a^3+b^3+c^3)+3(1-k)abc ≥ a^2b+b^2c+c^2a
证明：设a ≤ b ≤ c，b=a+s，c=a+s+t
若 p > q ，则显然 f(a,b,c,p) ≥ 0 可由 f(a,b,c,q) ≥ 0 推出。 由红字部分推出， f(a,b,c,k) ≥ 0 的充分条件是 k ≥ 1/2 。 事实上，如果2k-1<0，s足够大时，上式是不成立的。 注意到f对a b c轮换但不对称，再讨论a ≤ c ≤ b
这种情况是类似的。
再加一个例子：
对于正数 a , b , c 求满足下式的k的最小值：
设a ≤ b ≤ c
求解所有含k系数A - B k ≥ 0，找出最小值k ≥ 199/39 = 5.10256…，得到不等式成立的充分条件。
设b = c + s , a = c + t ，其中s ≥ 0 , t ≥ 0，f(a , b , c) = f(c + t , c + s , c).
这可以避免仅轮换对称的式子的讨论，但往往需要后续处理。这种方法当然也适用于完全对称，减小了运算量，甚至在完全对称时收到比f(a , b , c) = f(c + s + t , c + s , c)更好的效果，这是很神奇的。。。 类似还有f(a , b , c) = f(q p c , p c , c) , p ≥ 1 , q ≥ 1有时能有收效。。。 比如证明三元三次形式的Schur不等式：
用mathematica求解这个三次函数
f(p) = p^3 q^3-p^3 q^2-p^3 q+p^3-p^2 q^2+3 p^2 q-p^2-p q-p+1 ≥ 0.
In[18]:= Reduce[p^3 q^3-p^3 q^2-p^3 q+p^3-p^2 q^2+3 p^2 q-p^2-p q-p+1>=0,p] Out[18]= p\\[Element]Reals&&((q<-1&&(p<=Root[1+(-1-q) #1+(-1+3 q-q^2) #1^2+(1-q-q^2+q^3) #1^3&,1]||Root[1+(-1-q) #1+(-1+3 q-q^2) #1^2+(1-q-q^2+q^3) #1^3&,2]<=p<=Root[1+(-1-q) #1+(-1+3 q-q^2) #1^2+(1-q-q^2+q^3) #1^3&,3]))||(q==-1&&-(1/Sqrt[5])<=p<=1/Sqrt[5])||(-1
仔细看看，这对于 p ≥ 1 , q ≥ 1是显然的。。。即：
In[19]:= Reduce[{p^3 q^3-p^3 q^2-p^3 q+p^3-p^2 q^2+3 p^2 q-p^2-p q-p+1>=0,p>=1,q>=1},p]