即卡诺效率定理引出熵的概念：可逆过程的热温商是熵。
熵是克劳修斯提出的热力学第二定律的量化描述，热力学第二定律一般有三种说法： 1.克劳修斯（1850）：不可能把热量从低温物体传递到高温物体而不产生其他影响。 2.开尔文（1851）：不可能从单一热源吸收能量，使之完全变为有用功而不产生其他影响。 3.第二类永动机是不可能实现的。（废话。。。） 两种说法是等价的：
如果开尔文表述不真，那么克劳修斯表述不真：假设存在违反开尔文表述的热机A，可以从低温热源T2吸收热量Q并将其全部转化为有用功W。假设存在热机B，可以把功W完全转化为热量Q并传递给高温热源T1（这在现实中可实现）。此时若让A、B联合工作，则可以看到Q从低温热源T2流向高温热源T1，而并未产生任何其他影响，即克劳修斯表述不真。反之亦然。 据此，容易得出克劳修斯不等式：
可以理解为循环过程中依次与n个热源发生热相互作用。
熵是状态函数，是广度量，是宏观参量，不是守恒量。在经典隔离系统中，熵只会不断地增加，没有减少的机会，我们常常去将两个因变量相同的物理量类比，希望找出某种内在的关系，所以说，熵的方向，是时间的方向。能量虽然永生不灭，但是品味不同，随着时间推移，能量降退不断进行，孤立系统向着一种毫无生机的方向发展，最后一切大的变动，“这时宇宙将处于某种惰性的死的状态中”。当然，宇宙没有这样发展，但是对于我们的太阳系——可以看做经典隔离体系的小世界——这种发展是确确实实发生着的，所以请我们珍惜，不要浪费宝贵的自由能。 不等式的思想在现实世界中是一种方向的指示，热力学第二定律是经典理论中第一个不遵循时间反演可逆性的定律揭示了某种极为深刻的道理，要我们用一生去理解。
薛定谔在他那本名扬天下的小册子（生命是什么）中这样说过：
“在我们的食物中，到底有什么样的宝贵东西能使我们免于死亡呢？这是很容易回答的。每一个过程、事件、突发事变——你叫它什么都可以，一句话，自然界中正在进行着的每一事件，都意味着这件事在其中进行的那部分世界的熵在增加。因此，一个生命有机体在不断地产生熵——或者说是在增加正熵——并逐步趋近最大熵的危险状态，即死亡。要摆脱死亡，要活着，唯一的办法就是从环境中不断地汲取负熵（自由能）。有机体就是靠负熵为生的。或者说，新陈代谢的本质就在于使有机体成功的消除了当它活着时不得不产生的全部的熵。”
我们试着用非平衡态热力学去理解上述内容，对于近平衡态（扰动不大，分子碰撞传能速率大于某些不可逆过程的速率，反应活化能Ea>5k_B T等）采用局部平衡假设——将偏离平衡不远的系统划分为宏观小，微观大的元胞，则t时刻该元胞的状态可代表t+dt时刻。 热力学第二定律便可以推广至任意体系：
deS称为熵流，是系统与环境通过边界时增加的熵（可正可负），diS称为熵产生，是系统内部不可逆过程带来的熵变（恒为正）。可用平衡方程描述熵变：
其中L为任意广度量，此方程适用于任何系统。 熵流为热流和物质流贡献，所以：
Sj为物质j的偏摩尔熵。
进一步定义熵密度（单位体积熵产生率）：σ=diS/(Vdt)=dis/dt 对于定态（dS/dt=0）有：σ=dis/dt=-des/dt
一般来说，近平衡态时，傅里叶（Fourier，就是傅里叶变换那个傅里叶）线性热导定律成立，费克（Fick）扩散定律成立，但是反应亲和势A=-△rGm< 研究不可逆过程时，常将势函数称为热力学力X，由此引起的不可逆过程称为流J，实践证明，X较小时，J=LX，L称为唯象系数。对于电势梯度，即为欧姆定律；对于温度梯度，则为傅里叶定律；对于浓度梯度，即为费克定律；对于化学反应，即为一级动力学规律。 于是熵产生率可描述为： 若系统中有多个不可逆过程，则有昂色格（Onsager）倒易关系： 不可逆过程的线性表达： 中，L_{k,l}=L_{l,k}.此关系可由微观可逆性原理导出。 对于唯象系数恒定的体系，有最小熵产生原理：非平衡态的不可逆过程熵产生率随降低并趋于定值。由此可见，近平衡态的涨落行为随时间衰减，不会出现时空有序结构。所以说，当某些参量或约束条件超过限度，不同组分之间产生非线性关系，从无序到时空有序，即形成了耗散结构。 我们的每个生物分子，每个人，以及社会成分，都是时空有序的结构。BZ震荡，Bénard流，酶促反应，物种起源，生命进化都是耗散结构。一个耗散结构，要具备以下几个特征：①靠外界供应能量和物质才得以维持。②某些参量或约束条件超过阀值。③具有时空有序结构。④不受任何微小扰动的破坏。耗散结构的研究又包含于混沌理论之中，它将为更复杂的自然与社会问题提供更一般的规律和认识，应当给予关注。 最后说说热二的统计诠释：通过类比，即S和Ω同样决定于(N,U,V)所以去寻找它们的关系，玻尔兹曼首先提出： S∝ln Ω 普朗克求出了比例系数，称为玻尔兹曼常数k_B=R/L=1.3806488×10^-23J/K 这种定义下的熵称为统计熵，统计熵不局限于平衡态，是普遍使用的。所以说，热二的统计解释为：对于绝热或隔离系统，系统的可及微观状态数在不可逆过程中不断增大，趋近于最大值。但是统计解释又提出了更深刻的观点，即复原（熵减小）是有一定概率的，但是概率太小，所以表现出宏观上的方向性，但是方向中又伴随着涨落。这可以通过经典力学系统的亥姆霍兹函数理解。 熵的概念已经从热力学扩展到控制论、概率论、数论、天体物理、生命科学等领域。麦克斯韦提出了麦克斯韦妖，讨论就开始了。最后，信息熵被提出，并且与经典的热力学熵建立了定量的联系： （十八）关于机械化方法的历史。。。 代数和几何从笛卡尔（Descartes）开始就再也没有分过家，笛卡尔曾经设想：一切问题化为数学问题，一切数学问题化为代数问题，一切代数问题化为代数方程求解问题。他把问题想得太简单了，如果他的设想真能实现，那就不仅是数学的机械化，而是全部科学的机械化。因为代数方程求解是可以机械化的。但Descartes没有停留在空想，他所创立的解析几何，在空间形式和数量关系之间架起了一座桥梁，实现了初等几何问题的代数化。 之后，莱布尼茨（Leibniz）的努力促进了布尔（Boole）代数、数理逻辑以及计算机科学的研究，正是沿着这一方向，经后人的努力，形成了机器定理证明的逻辑方法。 随着集合论的诞生，近代数学的发展获得了有力的工具，之后希尔伯特开始形式数学的研究，但不出三年，哥德尔提出不完全性定理，这个著名的定理指出一个不弱于初等数论的形式系统如果是无矛盾的，则是不完全的，即存在形式系统的一个命题，它和它的否定都不能由形式系统证明。因此， Hilbert 的要求太高了。上述的G?del不完全性定理断言：即使在初等数论的范围内，Tarski 提出：对所有命题进行判定的机械化方法也是不存在的！但是在初等数学的领域，一切初等几何和初等代数范围的命题，都可以用机械方法判定。 1959年，王浩设计了一个程序，用计算机证明了 Russell 、 Whitehead 的巨著《数学原理》中的几百条有关命题逻辑的定理，仅用了 9 分钟。王浩工作的意义在于宣告了用计算机进行定理证明的可能性。柱形代数分解（CAD）的提出，从理论上解决了一切正定多项式判别的问题，Mathematica中的Reduce命令约化不等式时采用的即是CAD，我们可以试着去感受一下。但是它依靠实代数，求解复杂的将是几何级数式的增长。。。。这个CAD以多项式代数和代数几何为基础的，理论异常艰深。。。之后，吴文俊提出吴方法，翻开了机器证明领域的新的一页。至此，世界范围内，这两类问题的机械证明都在蓬勃发展中。 对实代数和实几何的一些发展可以参见： 杨路负责，张景中、符红光、冯勇、曾振柄、侯晓荣、曾广兴、夏壁灿等参与的课题“实几何与实代数的高效能算法”(2004CB318003)（973项目“数学机械化方法及其在信息技术中的应用”的子项目之一）结题报告： （十九）多元函数极值的偏导方法。。。。 对于多元函数f(x1,x2,...,xn)在某一区间上有连续的一二阶导数，定义黑塞（Hessian）矩阵为 其中 ，即： 当函数二阶连续可导时，Hessian矩阵H在驻点x上是一个n×n阶的对称矩阵。 当H是正定矩阵时，驻点x是一个局部的极小值。 当H是负定矩阵时，驻点x是一个局部的极大值。 当H=0,需要更高阶的导数来帮助判断。 H的正定性一般通过所有特征根大于0来判定 求解所有f_{x_i}(x_1,x_2,...,x_n)=0可得出驻点。再用上述矩阵判定，最后比较得出最值。 拉格朗日（Lagrange）乘因子法： 若f(x)的约束条件为g_k(x) = 0。定义拉格朗日函数为： 的解即为可能的极值。 TTK（卡罗需-库恩-塔克，Karush-Kuhn-Tucker Conditions）条件： 这是一种推广的拉格朗日（Lagrange）乘因子法，将等式约束条件推广至不等式约束条件， f(x)在x*处取得最值的必要条件，对于最大值： 对于最小值： 其中： 另外，充分条件为Fritz John条件： 包含于FONC条件中。。。 有很多人学了拉格朗日乘因子法就看不起初等不等式了，但是，由上面的内容可见，将初等不等式证明完全归结于高等数学方法往往是不划算的，甚至是相当困难，以已掌握的理论无法解决的。。。 （二十）解析——几何与代数的桥梁 几何定理主要包括等量关系定理（如勾股定理，九点圆定理）和不等关系定理（如三角不等式，佩多不等式）。一般来说，狭义的几何定理是等量关系定理。等量关系的定理可以通过化成代数等式的方法解决，这时，欧几里得几何的构造通常不是通过公理化方法，而是通过解析几何。通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里得几何（或非欧几里得几何）中的公理。这一方法没有公理方法那么漂亮，但绝对简练。 例如使用吴方法证明“三角形三条高线交于一点” 证明：设O(0,0),A(x1,0),B(x2,0),C(0,x3),D(x4,x5) 证明： 我们常常用高等几何（射影几何）用于解析证明，其中属仿射性质（对合）最为常用。仿射几何是欧氏几何在较高层面上的推广和延伸在初等几何中的应用范畴比较广泛,是应用高等几何知识解决初等几何问题的一条重要通道在初等几何中有大量的命题是研究图形的仿射性质的，即并不涉及到距离、角度、面积的具体度量，而仅涉及到点线结合关系、直线的平行性、共线或平行线段之比、两封闭图形面积之比以及中点等概念对于这类命题，可以运用仿射的有关性质，借助于仿射变换，由特殊到一般，化繁为简地加以解决，从而达到事半功倍的效果。 对于几何不等式，当然也可以用到上面的结论，但是几何不等式相对等量关系定理过于广泛，所以一般只研究较简单的几何量，例如三角形边长，角度，面积相关圆半径等。我们可以用等量关系定理将之化为条件代数不等式。 常用的代换等量关系（以边长a,b,c为例，设半周长p，面积S） S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 内切圆半径r=S/p 外接圆半径R=abc/(4S) sin A=a/2R cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc) 中线m_a=1/2 √[2(b^2+c^2)-a^2] 角平分线t_a=2/(b+c) √[bcp(p-a)] 高线h_a=2S/a 这可以将关于许多三角形的几何不等式站变成代数不等式证明。 举个栗子： 关于三角形的一个著名结果——欧拉不等式： 三角形外接圆半径大于等于内接圆直径。 这是一个漂亮的几何不等式，纯几何证法可证，但实为艰深，一种方法通过欧拉定理： 三角形的外心与内心之间的距离d可表示为d^2 = R(R - 2r). 当然利用代数方法就比较简单了： 这个不等式的推广——厄多斯（Erdos）不等式： 对于三角形内部一点P，到一边距离成为d，则有： 可由不等式： 推出。此定理亦存在纯几何证明（参见N·D·Kazarinoff的《几何不等式》），但是要用到帕普斯推广的勾股定理。对于代数方法，我们可以设ABCP的坐标为： A(x1,0),B(x2,0),C(0,x3),P(x4,x5) 之后利用解析几何工具解决。 当然，我们也可以令： A=x1,B=x2,C=x3 i,P=x4+x5 i 建立复数平面解决。。。 小测试 A（轮换不等式）： 对于正数 x , y , z 满足x + y + z = 1 , 证明： ①②③ ④ 对于正数 x , y , z 满足x y z = 1 , 证明： ①② ③ 对于正数 x , y , z 满足x^2 y+y^2 z+z^2 x=3 , 证明： ① ② 对于正数 x , y , z 满足x^y+z^x+y^z=3 , 证明： 小测试 B（含参情况）： ①对于实数 n ，正数a , b , c 满足： 则有： ②对于正数a，b，c，d满足a + b + c + d = 1, 函数 其中| |表示复数的模。 ③正数x , y , z , w满足x^2 + y^2 + z^2 + w^2≤4 , x + y + z + w≥2 , k≥3，则： . ④正数 x , y , z 满足 x + y + z = 3 , 函数： 则有：