事实上，Schur拆分是
基于Schp算法的机械证明。。。不是给我们手算的。。。。
（十三）细化赫尔德(H?lder)不等式&引入闵可夫斯基(Minkowski)不等式。。。。
哈代（Hardy）等人认为，这两个无论何时都是最重要的不等式，甚至在代数平均-几何平均不等式之上，虽然我们觉得用不上。。。。。
闵可夫斯基(Minkowski)不等式： 对于p>1,有：
事实上这个东西很高级，很高级，很高级。。。。只是我们没有必要深究罢了。。。 赫尔德不等式可以做出一个很重要的推广： 1/p + 1/q ≥ 1&p > 1&q > 1,仍然有：
赫尔德不等式的一个重要的退化形式柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨（Cauchy-Buniakowsky-Schwarz）不等式，就是常说的柯西不等式，为了纪念后两位数学家的贡献，我们还是记住他们的名字吧。。。 赫尔德不等式的相似形式——卡尔松（Carlson）不等式（矩阵长方形不等式）
（卡尔松不等式）m×n的非负实数矩阵中，n列每列元素之和的几何平均值大于等于矩阵中m行每行元素的几何平均值之和：
在前人的帖子里面讨论的很详细了：做出一个更正，很像Carlson不等式的一个是：
（微微对偶不等式）对于每一个j，a_{j,i}是正的递增序列，b_{j,i}是a_{j,i}的一个排序，则：
但是他们之间的差距还是比较大的，但是上面那个帖子认为是一个东西。。。
看过很多重要不等式之后，我们发现，这些比较强的不等式之间经常可以互推，这很神奇，很有趣，你们自己去发现吧。。。
（十四）幂平均函数及其他。。。。。。。
高中刚刚开始，学到三个毕达哥拉斯平均时，你有没有想过把
推广成：
或者：
相信很多人有过这样的想法。所以说，幂平均函数是一个容易想到推广的函数，我过去学三个毕达哥拉斯平均时自己已经想到和赫尔德完全一样的平均值函数了。。。 定义幂平均函数为：
其中x_i ≥ 0 , p ≠ 0. 因为:
即几何平均，所以可以补充 p = 0 时的定义。 幂平均函数有这样几个重要的性质（单调有界）：
对于 p ≤ q ,（ω_i为权重，在非加权形式时等于1/p）, 有：
对于 p ≤ 0 ≤ q 有：
幂平均函数的单调递增性称为幂平均单调性定理。这个定理的证明可以先取对数，再通过Jensen不等式证明，幂平均函数的引入是一个很方便的东西，这样闵可夫斯基不等式可以表述成“对于p≥1，幂平均的和大于和的幂平均”即： M_p(x1)+M_p(x2)≥M_p(x1+x2) 或：
切比雪夫不等式可以表示为：“对于同增或同减的两个序列a_i,b_i，其幂平均的积小于积的幂平均”。 对于凸函数，还有幂凸函数，是用幂平均形式定义的。当然除此之外还有很多，我就想不起来或者忘了。。。
（十五）SOS定理。。。
这是一种某些人很喜欢的东西，虽然我不怎么喜欢了。。。。毕竟不够直接了当，不符合我的性格。。。 对于三元二次以上轮换整式可以唯一整理成： 以下五种情况即称为SOS定理。
试着用SOS定理解决三次Schur不等式。。。 根据SOS第二定理：
通过SOS定理的证明（自己找）过程很容易看出，第一定理和第五定理在任何一种整理：
都成立，而中间三个不一定成立。。。但适用于整理：
非完全配方会遇到永远规划不到SOS-1的情况（但事实上这种情况并不多），这时SOS定理就有用了。。。。
（十六）凸函数理论及受控理论。。。
f是定义在凸集C上的实变函数，对于x,y∈C，1 ≤ t ≤ 1 则称f为D上的（下）凸函数。 注意：y = x^2才是凸函数！！！y = x^0.5是凹函数。 最开始的定义（Jensen）是：
现称之为Jensen凸函数。
第一个定义显然可以推出第二个，在①C为拓扑向量空间②f在C上连续，则可以互推。
凸函数还有许多推广和类比，例如幂平均凸函数，伪凸函数等等，我见过的不下十种，在此不介绍了。 g是区间D上的连续凸函数等价于 任意x_0∈D，存在h(x_0)满足哈代（Hardy）不等式： 从而推出二阶导数非负，函数为凸函数的结论。
凸函数中最重要的，也是最基本的就是Jensen不等式： 对于凸函数φ，a_i∈[0,1]
反之，φ是凹函数，不等式反号。iff x_1=x_2=...=x_i或φ为直线时等号成立。 事实上，这更像一个概率不等式。。。积分形式有类似的结论。 哈达玛（Hadamard）不等式：
对于定义在[a,b]上的凸函数φ，a ≤ x < y ≤ b，则有：
控制不等式（Schur凸函数）：
我们知道对于多元函数，其凸性是一个比较强的性质，需要一个更广泛的东西来推广凸性，使我们能够用类似凸函数方法“宏观上’’来推导不等式。于是控制不等式应运而生，由于控制不等式本身也是由一系列不等式来定义的，我们也就可以由控制不等式的一些性质来证明不等式。1923年德国数学家Issai Schur率先系统研究了受控(Majorization)理论中函数的保序性，为纪念其贡献，将他所研究的这类函数命名为Schur凸函数。随着受控理论研究的深入，Schur凸函数已经在解析不等式、矩阵论、广义平均值、概率统计、图论、数值分析、可靠性、信息安全和其它相关领域发挥着愈来愈重要的作用。
综上，Schur凸性是证明不等式的强有力的手段（可以证明许多你见都没见过的复杂的很强的结论），限于知识水平和篇幅，我不能说的过于详细，有兴趣的可以看石焕南先生的《受控理论与解析不等式》或王伯英先生的《控制不等式基础》。。。
现在，我们看看控制不等式的定义：
控制不等式同样具有传递性。
严格控制：不存在任何转置矩阵A使得x = y A , 则称x被y严格控制。记为x\\prec\\prec y 哈代等人书中就给出的关于控制不等式的基本结论：
另一个重要的结论是：
对于g:I-->R,φ:R^n-->R,复合函数ψ=φ(g(xi)有：
(1)若g是凸的，φ是增且Schur凸的，则ψ是Schur凸的； (2)若g是凹的，φ是增且Schur凹的，则ψ是Schur凹的； (3)若g是凹的，φ是减且Schur凸的，则ψ是Schur凸的； (4)若g是凸的，φ是减且Schur凹的，则ψ是Schur凹的；
(5)若g是减且凸的，φ是增且Schur凸的，则ψ是减且Schur凸的； (6)若g是减且凸的，φ是减且Schur凹的，则ψ是增且Schur凹的。 对于严格凹凸性有同样结论。
对于三元对称形式，我们有这样一些基本结论：
试着用控制不等式做一道小题： 对于△ABC和p ≥ 2 , k ≥ 0 , 证明：
证明：当t<0时，sin^t x在(0,π)上是凸函数。
令csc^k A = x , csc^k B = y , csc^k C = z ,则在(0,π)上，-ρ1,-ρ2是严格Schur凸函数，故上式成立且在x = y = z<=>△ABC是正三角形时取等。
利用控制不等式证明代数或几何不等式时的基本思路即： ①证明一个函数的Schur凸性。
②构造一个有Schur凸性的函数。
从例子中我们可以看出，控制不等式可以解决许多含参不等式特别是指数含参的问题，这用其他方法往往是十分困难的。。。。。而且，相比整式上的诸多业已定型方法，控制不等式今日方兴未艾，尚有巨大的潜力，让我们慢慢期待！
（十七）杂谈 克劳修斯（Clausius）不等式与热力学第二定律。。。。
（这是我的本行嘛，比较熟悉，但是我不能从很基础的热力学概念讲起，太长了，虽然基础概念非常非常重要，所以就是给你们看看娱乐一下的。。。）
我们生活在一个被统计规律所描述的世界里面，正如薛定谔（Schr?dinger）先生所说：“我们的一切物理学规律都是统计规律。” 统计力学是宏观与微观的桥梁，宏观体系因为数量的积累产生了质的飞跃，使之获得了微观体现不具有的东西，比如说——熵。
熵是一个神秘的概念，她不肯揭下那神秘的面纱，我们只能依稀的窥探她的容颜，熵，定义于热力学第二定律，但更给人一种可望不可即的飘渺之感，她已超越了原本的热力学概念，牵动着我们的情思。
我向来不鼓励大家直接去接触玻尔兹曼（Boltzmann）给出的伟大解释，虽然那看起来更容易理解，因为熵概念被克劳修斯提出到玻尔兹曼提出玻耳兹曼关系式用了27年，这27年，经典热力学基本建立完毕，并未用到统计诠释，所以要更好地理解这个概念，就要尊重历史发展啦。。。
卡诺（carnot）在热力学第二定律创建以前就提出了carnot定理，并用自己都不认同的热质论给予了证明。。。但是天妒英才，卡诺英年早逝，连热二都没看着就驾鹤西去了，很可怜啊。。。理想气体顺时针经历两个等温可逆过程和两个绝热可逆过程，如图所示：
容易得出：
所以：