Out[19]= q>=1&&p>=1
暂时这样吧，事实上没人真的看得进去差分的结果。。。
（六）谈谈切线法及其推广
切线法是个人见人爱小妖精，她不破坏漂亮的轮换结构，却打破了齐次式。。。这注定她与配方的贵族气概还有一定的差距。。。不过因为不经大脑，所以我比较喜欢。。。。 经典的切线法，旨在解决一种条件轮换对称型：
取等条件为均值取等。
切线法的核心在于分离出单一变量的函数。
证明切线和原曲线位置关系常用分解因式的方法，这是因为：
求等条件处为切点，对于单元函数，一定可以得到一种分解因式的表达形式。
有人问，为什么不用凸函数性质说明问题，第一，凸函数很高深，不容易理解，第二，不是凸函数也可以用切线法，例如：
然而：(x^4 + 13 x^2 - 6 x^3)'' = 12 x^2 - 36 x +26 并非恒大于零。 切线法很多人讲过，我不说了，美利坚的那三道题是切线法的典例。。。 说一说推广：
①在对称性上推广，并非只有轮换性才能切线，非轮换型也可以： 对于f_i的切线g_i和g_i的和为C，则证明
不对称情况也可以用切线法，例如：
对于实数 x , y , z 满足x + y + z ≥ 7 证明： x^2+(y+2)^2+(z+2)^2≥3. 证明：
x^2+(y-2)^2+(z-2)^2≥2(x-1)+1+2(y-3)+1+2(z-3)+1=2(x+y+z)-11≥3. 我们常常使用待定系数的方法来证明这类问题。
对于实数 x , y , z 满足x + y + z ≥ C ，求f(x)+g(y)+h(z)的最小值：
求f'(x0)=g'(y0)=h'(z0)&x0+y0+z0=C.验证切线与原函数的位置关系，若满足： f(x)≥f'(x0)(x-x0)+f(x0),g(y)≥g'(y0)(y-y0)+g(y0),h(z)≥h'(z0)(z-z0)+h(z0). 则f(x)+g(y)+h(z)≥f'(x0)C+f(x0)+g(y0)+h(z0). 推广看：
k1 x+k2 y+k3 z=C
当然可以进一步推广——化直为曲：
有时不要试图用双切线条件，会死人的。。。例如：
证明：不妨设x + y + z = 1
原不等式等价于：
所以：
后一段仍然不易证明。
当然切线法设x + y + z = 1的思路可以使用：
分三类情况讨论可得上式等价于：
显然成立。
②在线上推广——直变曲
因为过去的题找不到了，就用上面说的现编一道：
证明：
③借来指对省运算： 有时：
这个变换会使证明豁然开朗，但是不能乱用，因为分解因式已经失效了，证明切线和曲线位置关系变得复杂起来。。。。 另一种情况，已知x y z = a , g(t) ≥ k t + b.
④在线上推广——线变面
世界上不仅有切线，还有切面（一般不是平的，平的直接看切线就行了），这是人类形象思维能力的极限。。。。 比如说已知p(x , y) + p(y , z) + p(z , x) = a.曲面z = f(x , y) ≥ p(x , y). 求证F(x , y , z) ≥ a就可以转化成：
⑤向大师靠拢——建立新的有效不等式。
人类活在三维世界里面，注定只能理解到三维立体，但是不妨碍代数研究更高的东西。。。 思路即为：
（七）介绍几个重要的不等式①。。。
借助已有的不等式往往需要很好的变形能力，这一点是我难以学会的。。。。 不过总得知道，没准什么时候就用上了呢。。。 最重要的不等式——赫尔德（H?lder）不等式
设S为测度空间，0 ≤ p , q ≤ ∞，及1/p + 1/q = 1，设f在L^p(S)内，g在L^q(S)内。则f g在L^1(S)内，且有。
若S取作{1 , ... , n}附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形： 对所有实数（或复数）x_i,y_i，有:
.
现在我们有两个方向： ①推广
②看明白什么玩应这是！！！！
sss.赫尔德这个基本形式真的很难用，我们常用的都是它的几种变形： 对于正数x_i , y_i , p > 1 , 1/p + 1/q = 1
这种形式里面最常用的又是p = 2/3 , q = 3的三元形式：
sss.这个形式更像卡尔松（Carlson）不等式。。。。 最经典的例子在IMO42。。。。 对于正实数a , b ,c，证明：
证明自行百度。。。。
举一个其他的说明一下：
对于正数x , y , z 满足 x y z = 1 , 证明：
证明：设a^3 = x , b^3 = y , c^3 = z , 所以a b c = 1 由赫尔德不等式和米尔黑得（Muirhead）定理可知：
所以说，使用赫尔德不等式需要将\\sqrt[3]{ax^2}凑成整式。 一个非常经典的例子：
对于正数a , b , c 满足 a + b + c = 1 ,证明： 证明：
（证明属于arqady）
（八）介绍几个重要的不等式②。。。
把他们三个一起说了，但是不代表最重要的那个只说一次。。。 万式之源，不等式中的王者——代数平均-几何平均不等式。 以及令人闹心的Schur不等式和Muirhead不等式。。。 先说一说：
第一个谁都知道。。。。
Schur不等式山没说过，再磨叽一遍。。。 对于正数x , y , z , t 有：
三元形式最强，四元形式常常就不够了。。。 还有几个Schur不等式的推广：
①对于正数 a , b , c . 如果 (a,b,c) 和 (x,y,z) 有相似的排序，那么：
②对于实数a , b , c , x , y , z & a ≥ b ≥ c & ( x ≥ y ≥ z || x ≤ y ≤ z ) & k > 0 & (f:R->R_{0}^{+}是凸函数或单调函数) ，则有：
这是罗马尼亚数学家Valentin Vornicu于2007年证明的。
上面的结论直接建立了Schur拆分的理论基础。
一个比较弱的结论，Muirhead定理，常常与Schur不等式联用，也常常单独使用（这时不等式一般比较弱），但是形式简单，不需要什么特别的智商，所以懒人都喜欢。。。所以，现在我们来看看他的形式： 对于正数x , y , z , a1 ≥ a2 ≥ a3 , b1 ≥ b2 ≥ b3 ,满足：
a1 ≥ b1 & a1 + a2 ≥ b1 + b2 , a1 + a2 + a3 ≥ b1 + b2 + b3 ，则有：
sym太烦人而且不常用，所以我给出了cyc的形式。。。 看看单用Muirhead，一般比较简单：
对于对于正数 a , b , c 满足 a + b + c = 1 ,证明：
证明：
这里面有一个推广形式。。。。
然后举例说说联用Schur和Muirhead： ①对于正数 x , y , z ,证明：
证明：由Schur不等式和Muirhead定理可知：
②对于正数 a , b , c , 0 < k < 2 证明：
证明：由Schur不等式和Muirhead定理可知：
这都是直接用Schur的，但是舒尔拆分有所不同，是一种更加程序化的操作，日后再谈。。。
上面根本就没提到代数平均-几何平均不等式，你可能觉得奇怪，我为什么把他们放一块。。。。事实上，一切可以用Schur不等式和Muirhead定理解决的问题原则上都可以用代数平均-几何平均不等式解决，但是配成代数平均-几何平均不等式结构比较困难，所以懒人是不会做的。。。。 首先明确一下加权形式的代数平均-几何平均不等式：
严格的讲，这是一个概率不等式。。。 可以推广为：
举个栗子：
对于正数 x , y , z ,证明：
证明：由代数平均-几何平均不等式可知：
这道题完全可以用Muirhead定理解决。。。即：
凑成代数平均-几何平均不等式往往需要待定系数，比如： 对于正数a , b , c , p , q , r , n 满足 p + q + r = n，证明：
证明：由加权形式的代数平均-几何平均不等式可知：