2-16．已知曲面AB为半圆柱面，宽度为1m，D=3m，试求AB柱面所受静水压力的水平分力Px和竖直分力Pz 。 [解] 水平方向压强分布图和压力体如图所示： 3?D?2Px??gDb??g??b??gDb 228?2?2112?38?9810?3?1?33109N 2Pz??g1???2?2Db ?D?b??g4?416?3.1416?3?1?17327N 1415h时，闸门可自动打开。 2?9810?2-17．图示一矩形闸门，已知a及h，求证H>a?
[证明] 形心坐标zc?hc?H?(a? 则压力中心的坐标为
zD?hD?zc?Jc?112325h)?h2?H?a?h10
JczcABh;A?Bhh10)?h2
zD?(H?a?12(H?a?h/10)h
当H?a?zD，闸门自动打开，即H?a?1415
第三章 流体动力学基础
3-1．检验ux?2x?y, uy?2y?z, uz??4(x?y)z?xy不可压缩流体运动是否存在？ [解]（1）不可压缩流体连续方程
?ux?x??uy?y??uz?z?0
22（2）方程左面项
?ux?x?4x；
?uy?y?4y；
?uz?z??4(x?y)
（2）方程左面=方程右面，符合不可压缩流体连续方程，故运动存在。
3-2．某速度场可表示为ux?x?t；uy??y?t；uz?0，试求：（1）加速度；（2）流线；（3）t= 0时通过x=-1，y=1点的流线；（4）该速度场是否满足不可压缩流体的连续方程？ [解] （1）ax?1?x?t
ay?1?y?t 写成矢量即 a?(1?x?t)i?(1?y?t)j
az?0
（2）二维流动，由
dxux?dyuy，积分得流线：ln(x?t)??ln(y?t)?C1
即 (x?t)(y?t)?C2
（3）t?0,x??1,y?1，代入得流线中常数C2??1
流线方程：xy??1 ，该流线为二次曲线
（4）不可压缩流体连续方程：
?ux?x??uy?y??uz?z?0
已知：
?ux?x?1,?uy?y??1,?uz?z?0，故方程满足。
3-3．已知流速场u?(4x?2y?xy)i?(3x?y?z)j，试问：（1）点（1，1，2）的加速度是多少？（2）是几元流动？（3）是恒定流还是非恒定流？（4）是均匀流还是非均匀流？ [解]
ux?4x?2y?xyuy?3x?y?zuz?03333
ax?duxdt?3?ux?t?ux?ux?x?uy2?ux?y?uz?ux?z3
?0?(4x?2y?xy)(12x?y)?(3x?y?z)(2?x)?0代入（1，1，2）
?ax?0?(4?2?1)(12?1)?(3?1?2)(2?1)?0?ax?103
同理：
?ay?9
因此 （1）点（1，1，2）处的加速度是a?103i?9j
（2）运动要素是三个坐标的函数，属于三元流动 （3）
?u?t?0，属于恒定流动
??（4）由于迁移加速度不等于0，属于非均匀流。
3-4．以平均速度v =0.15 m/s 流入直径为D =2cm 的排孔管中的液体，全部经8个直径d=1mm的排孔流出，假定每孔初六速度以次降低2%，试求第一孔与第八孔的出流速度各为多少？
[解] 由题意qV?v?D42?0.15??4?0.02?0.047?1022?3m/s?0.047L/s
73······；v8?0.98v1 v2?0.98v1；v3?0.98v1；
qV??d42(v1?0.98v1?0.98v1???0.98v1)?27?d42v1Sn
式中Sn为括号中的等比级数的n项和。
由于首项a1=1，公比q=0.98，项数n=8。于是 Sn?a1(1?q)1?q4qV1n?1?0.9881?0.98?7.462
v1??d2Sn7?4?0.047?102?3??0.001?7.4627?8.04m/s
v8?0.98v1?0.98?8.04?6.98m/s
3-5．在如图所示的管流中，过流断面上各点流速按抛物线方程：u?umax[1?(rr0)]对称分布，式中管道
2半径r0=3cm，管轴上最大流速umax=0.15m/s，试求总流量Q与断面平均流速v。
[解] 总流量：Q??udA??umax[1?(A0r0rr0)]2?rdr
2 ??2umar?x02?2?0.15?0.03?2.12?10m/s
2?43?断面平均流速：v?Q?r02?2umaxr02?r02?umax2?0.075m/s
3-6．利用皮托管原理测量输水管中的流量如图所示。已知输水管直径d=200mm，测得水银差压计读书hp=60mm，若此时断面平均流速v=0.84umax，这里umax为皮托管前管轴上未受扰动水流的流速，问输水管
中的流量Q为多大？（3.85m/s）
[解] ?pA?guA2g2?uA2gp2?p?gpA
???g??g?(????1)hp?12.6hp
uA?Q?2g?12.6hp?2?9.807?12.6?0.06?3.85m/s
3?443-7．图示管路由两根不同直径的管子与一渐变连接管组成。已知dA=200mm，dB=400mm，A点相对压强
dv?2??0.2?0.84?3.85?0.102m/s
2pA=68.6kPa，B点相对压强pB=39.2kPa，B点的断面平均流速vB=1m/s，A、B两点高差△z=1.2m。试判断流动方向，并计算两断面间的水头损失hw。
[解] ??4dAvA?dB222?4dBvB
4002)?1?4m/s 2002 ?vA?dAvB?( 假定流动方向为A→B，则根据伯努利方程
zA?pA??AvA2g2?g?zB?pB?g??BvB2g2?hw
其中zB?zA??z，取?A??B?1.0 ?hw?pA?pB?vA?vB2g22?g??z
?68600?392009807?4?1222?9.807?1.2
?2.56m?0
故假定正确。
3-8．有一渐变输水管段，与水平面的倾角为45o，如图所示。已知管径d1=200mm，d2=100mm，两断面的间距l=2m。若1-1断面处的流速v1=2m/s，水银差压计读数hp=20cm，试判别流动方向，并计算两断面间的水头损失hw和压强差p1-p2。
[解] ??4d1v1?d1222?4d2v2
2002)?2?8m/s 1002 ?v2?d2v1?(假定流动方向为1→2，则根据伯努利方程
p1??1v12g2?g?lsin45??p2?g??2v22g2?hw
其中
p1?p2?g?lsin45?(?????1)hp?12.6hp，取?1??2?1.0
?hw?12.6hp?v1?v22g22?12.6?0.2?4?642?9.807??0.54m?0
故假定不正确，流动方向为2→1。
由
p1?p2?lsin45?(?????g?1)hp?12.6hp