【中学数学教案】
立体几何
教案
一，空间直线与直线的关系 a ，相交 b ，平行 c ，异面 a ,
相交直线 空间中
平行于同一条直线的两条直线平行 b, 平行公理： c, 异面直线： 1，求异面直线所成角问题 注：利用平
行公理找角，利用余弦定理计算，结果要锐角或直角
??
0?090异面直线所成角的范围
, ㈠
平移法利用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角 CCABDBABCD?B和C 例：正方体中，E，F分别是中点，则直线AE111111
和BF所成角的余弦值 ㈡ 补形法 补形：底面是直角三角形的直三棱柱可以补成一个长方体 ?CAB 例：在直三棱柱中，，点分别是
90DF?ABC,?BCA?11111CCABA
中点，
BC=CA=，则所成角的余弦值 CDF,B与A1111111 1303015A、
B、 C、 D、 2101510 2，求异面直线之间的距离问题 和两条异面直线垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线， 公垂线夹在两条异面直线之间的长度叫做异面直线的距离。
二， 空间直线和平面关系 a , 直线与平面平行 b , 直
线与平面垂直 c , 直线与平面斜交——射影定理和三垂线定理
a, 线面平行 1， 判定定理： 若平面外一条直线和这个平面内
的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。 2， 性质定理：若一条直线和一个平面平行，则过这条直线的平面和这个已知
平面的交线必和这条直线平行。 b, 线面垂直 1， 判定定理： I, 若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。 II, 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。 2， 性质定理： I，若两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。
II，过一点能且仅能做一条直线与一个平面垂直。 c, 射影
定理 1，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较
长。 2，相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长。 3，垂线段比任何一条斜线段都短。 d, 三垂线定理 1，平面内的一条直线，若和斜线在平面内的射影垂直，则这条直线和斜线垂直。 2，平面内的一条直线，若和平面的斜线垂直，则这条直线和斜线在平面内的射影垂直。 三，
空间平面和平面的关系 a, 面面平行 b, 面面垂直 c, 面面斜交 a , 面面平行 1， 判定定理：I，
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这
两个平面平行。 II， 垂直于同一条直线的两个平面平行。 III 如果一个平面上的两条相交直线分别和另一个平面上的两条直线平行，那么这两个平面平行。 2， 性质定理： I， 如果两个平行平面分别和第三个平面相交，那么它们的两条交线平行。 II， 夹在两个平行平面间的平行线段的长相等。 III，如果两个平行平面中，有一个平面和一条直线垂直，那么另一个平面也和这条直线垂直。 b, 面面垂直 1，定义：两个平面相交，
如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。 2，判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 3，性质定理：I， 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 II， 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。 III，如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。 c, 二面角 定义：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面， 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，两条线所成的角叫做二面角的平面角。 空间直线，
平面的做题方法。 一、 空间平行关系转化图及相关定理 面面平行判定定理推论 线面平行面面平行判定定理判定定理平行??????? ? 公理??
线线平行线线平行线面平行面面平行
?????????? 线面平行面面平行????性质定理基本性质 面面平行性质定理 I，线面平行的判定方法 利用线线平行证线面平行?①平行关系转画图 ?利用面面平行证线面平行?②向量法（后面讲） ③线面平行定义:直线与平面没有公共点
II，线线平行关系的判定
常见的线线平行的判断方法有
平行公理??
①平行关系转
画图 从线面平行到线线平行??从面面平行到线面平行?②三角形，平行四边形（菱形，矩形，正方形）梯形
中位线性质 在找三角形中位线是常常利用平行四边形（菱形，矩形，正方形）对角线互相平分 ③利用平行线分线段成比例定理推论找平行线 平行于三角形一边，截其它两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例
DE∥BC A ADAE⑴ ? D DBEC E ADAEDE⑵ ??ABACBC注：反之任取一组比例式可推得DE∥BC B C E D DE∥BC A DAEADE ??ACABBC注：反之任取一组比例式可推知 DE∥BC B C ④向量法（后面讲） ⑤垂直于同一平面的两条直线平行 例 如图所示：已知E，F，G，M分别是四面体的棱AD，CD，BD，BC的中点，求证： AM||面EFG A
E G B N M N C 设计说明：可以通过面面平行证线面平行 CABDBB例 已知正方体ABCD-，棱长为a,E,F分别在，BD上，且 AE?BF111111 CB
求证：EF||平面 BC11法一： D C F M 本题证明从线线平行到
线面平 A B 行。在找线线平行时应用平行线分线段成比例定理推论 DC 11 E AB11 法二： D C F G A 法二也是从线线平行到线面平行， B 做平行线构造平行四边形证线线平行 D
C
H 11 E AB 11 III 面面平行关系的判定 面面平行判定方法 利用
例 三棱柱ABC-，D是BC
求证：平面||平面
线面平行证面面平行?①平行关系转画图 ?利用线线平行证面面平行?②向量法（后面讲） ③垂直于同一直线的两个平面平行 ④面面平行的定义：两个平面没有公共点 CCCABBADAD
上一点，且||平面，是中点，
B111CABD
B11111111CADAD
例1如图所示正方体ABCD-的棱长都是a,M,N分别是下底
面棱1111CABB, 1111
a的中点，P是上底面棱AD上一点，AP=，过P，M，N的平面
交上底面于P，Q，Q在 3CD上，则PQ= Q D P C A B
DC 11 N AB M 1122答案： a 3二 ，空间垂直关系转化图
及相关定理 线面垂直的判定定理面面垂直的判定定理 ?????????????线?线垂?直?线面垂直面面垂直 ?????????线面垂直定义面面垂直的性质定理????
典型例题 I， 线面垂直的判定与性质 线面垂直与面面垂直是今后我们要研究的主要问题。问题的关键是线线垂直。 线线垂直的判定方法 ①空间线面垂直证线线垂直 ②利用三垂线定理 ③向量法 ④利用勾股定理算垂直 线面垂直的判定方法 利用线线
垂直证线面垂直?①空间垂直关系转化图 ?利用面面垂直证线面垂直?②向量法 AF?CP，于E，例1如图所示，AB圆O的直
径，C为圆O上一点，AP?面ABCAE?BP于F， 求证： BP?平
面AEF
P 本题通过线线垂直证明线面垂直，在找 E F 线面垂直条
件时采用了三垂线定理和圆的直径对直角的性质 C A O B
?
练习：如图已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M，N分别
是AB，PC的中点，若 ?PDA?45求证： MN?面PCD P Q 提示：取PD中点Q，证AQ与面PCD垂直，从而利用“线面垂直的 A N 性质定理”证MN与面PCD垂直 D M B C CAB?ABC例2、直三棱柱中，M为AC中点 111BMCAC?平面求证： 11 A A 1 2 C 2 2 B 1B C 1
设计说明： ①牢牢把握直（正）棱柱，正棱锥的结构特征对于研究空间几何问题（空间平行关系的判定与性质及空间垂直关系的判定与性质）有很大帮助。 ②在三视图的环境下证明线面，面面关系是几何证明的一个重点 CCCCABBAA练习：⑴如图所示，直三棱柱ABC-中，，，M，N?A?B111111111是，AB的中点，
AB11CAB⑴求证: M?面AB111⑵求证： AB?AM1CB⑶求证：平面