交线法，截面法与截面法 CAB?例2已知正三棱柱ABC-的底面边长是2，高为1，过顶点A做一平面，与侧111???CB?面交于EF，且EF||BC，若平面与底面ABC所成二面角大小为x,BC0?x?? ?116??四边形BCEF的面积为y,则函数y=f（x）的图象大致是：答案：C ???? 6666 B C D A A C N C A B B F G F M M E E CC 11
AA B111 B 1
图2 图1 法一：平移交线法如图1
∵EF||BC， EF?面ABC，BC?面ABC∴EF||面ABC 设 面AEF?面ABC?l又∵ EF?面AEF∴EF||l 取EF中点M，BC中点N 则ANEF，ANEF ??则就是面AEF与面ABC所成的二面角的平面角 ?MAN注：在本题中很难找到面AEF与面ABC的交线，故在图形中找一条与交线平行的直线EF，在这两个平面内引EF的垂线，从而找到二面角的平面角 注：求空间角时，空间角大多是特殊角，对于非特殊角题目一般要求求空间角的某个三角函数值。若题目特别强调用反三角函数表式，利用下面公式 ?????????公?
式
一
：
若
??,,m??1,1?sin?m?? ? ? ?22?????则 ?arcsinm???????公??式
二
：
若
cos?m?0,,m???1,1则 ?arccosm??????公式三：??若 ?tan?m??为常实数,,m???? ?22????则? ?arctanm?1??例：①
???sin?,?求0,,??
32???1??② ??,??cos?0,,求?? 32???1??③
???tan?,?求?0,,? 32??通过本题引出下面公式 常用公式：
arcsin?x??arcsinx
?arccos?x??arccosxtan?x???arctanx1??练习：①
????cos??,?求,
??
32???1??②
???tan??,?求?,0? 32??三、向量法求空间角 ㈠向量法求线线角：空间两条直线所成的角与它们方向向量所成的角相等或互补 ? l l ??lml,m? , ?? m lmcosl,m ?cos,?m ? l l ??lm?l,m??, ?? m lmcosl,m??cos,?m 综上： ??lm? ????? ? ? lmlm?|cosl,m|?cos,由l,?0,则cosl,m?cos?,? ? ??2??㈡向量法求线面角：空间直线与平lm面所成的角和直线的方向向量与平面法向量所成的角互?余，或比向量角小 2
?
?? 基线为的垂线 nn11???? l l?nl,??,12 l
??l?nsinl,?cos,1? ? n1 l ???l?nl,?,?12? l ??l?sinl,??cos,n1? ????? ? 综上：? ll???nn|sinl,|?由cos,l,?0,故sinl,?|cos,|?? 112??㈢空间向量的方法求二面角，方法一：内积法 ??mn如图所示，在两个平面内以交线上的点为起点各引一条与交线垂直的向量 ,?? , ? ??
????n
mnmn?????,?,??l,,????mn??,?,m l ??9030?ABC?例：已知直角中，ACDAB=4，D为AB的中点，沿中线将?C?,?B? 13,折起使得AB=，
l
则二面角A-CD-B的大小为
B B F F D D E E A A C 对于折叠问题，关键是抓
住图形折叠前后的不变量及重要的折叠条件 解：作
AE?CF,BF?CF ?? FBEA二面角A?CD?等B于
,??? ?
ABAEEFFB??? 22
??????ABAEEFFB??? ? ?222? ??????????AEEFFBAEFBEFFBAEEF???2??2?? 2?
???
AEEFFB3?3,?2,???3AEFB ?? 2?? AEFB???1AEFBcos,?? ? 0 ??2AEFB ???又∵? ?AEFB,?0, ???∴ AEFB,? 3
??
?∴2 EAFB,? 3方法二：坐标法
?
n1?
?
n2???m??,n?,??l,m,n?l?? n ? m ???nn,??,11???nncos,???cos,12 l ?
n1
???n
?2??nn,?,11
??
n
?
??cos,?cos,nn m 12 l 综上： ??? ?????nncos,??cos,,,?0,12 ??? ??|cos,|,,
为锐角nn?12? ??cos,?? ??? ???cos,,为
钝角nn12?
?注：①求二面角是二面角一般为锐角或钝角很
少求直角，零角或平角 ②二面角的性质可以直观观察得到 四、空间向量方法求空间点到平面的距离
? A ?
?OBn??n? ?? dO,??n B ? 典例 一、向量法
确定空间线线，线面，面面位置关系，求空间角及空间点到平面的距离 注：①应用向量法研究空间几何问题的关键是建系及确定空间点的坐标， ②在建系时最好建立右手系（在原图形上找或作三条有公共点且两两垂直的线段做为坐标轴），在坐标平面上的点越多越好，关于原点或坐标平面对称的点越多越好 ③在建系时会用到空间垂直关系相关定理（线面垂直的判定定理，线面垂直定义，面面垂直的性质定理），线面角的定义，直（正）棱柱的结构特征，正棱锥的结构特征 ④确定空间点的坐标必要时时可以设参数表示空间点的坐标，但参数用得越少越好如轴上点的坐标可用一个参数表示;坐标平面上点的坐标可用两个参数表示;已知线段两端点的坐标，只需一个参数就可以表示该线段上任意点坐标（利用向量共线条件）如下图 A C B 若已知A，B坐标设C（x,y,z） ?????0ACABAB可求点C坐?设?标 ?45例在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为，底面ABCD为直?1?90
角梯形，，PA=BC=
?ABC??BAD? 2AD⑴求证：面PAC面PCD ?⑵在棱PD上是否存在一点E，使CE||面PAB？若存在确定E的位置，若不存在说明理由 （0,0,1）P E（x,y,z） D（0,2,0） A B（1,0,0） C（1,1,0）
?
??面PAB的法向量为
AD0,2,0?
?要想CE||面PAB必须
CEAD???∴CE AD??∴0y=1
?????? ?0?PEPDPDPEPD||?????可求点??E坐标 注：解决存在性
问题，把结论当已知，从结论出发，找是结论成立的条件
?
?
CAB90练习1、如图，在直三棱柱ABC-中，，AC=BC=a,D,E分
别为棱?ACB?111?30AB，BC的中点，M为上的点，二面角M-DE-A为 AA1CAB⑴证明： ?D111⑵求MA的长，并求点C到平面MDE的距离 A 1C1B 1（k,0,0）M （0,-a,0）A C
aa()D ,?,022B（a,0,0） a答案： 42、（07高考全国Ⅱ）如图，
在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面
?ABCD，E，F分别为AB，SC的中点， ⑴证明：EF||面SAD ⑵
设SD=2DC，求二面角A-EF-D的正切值
1k ）F（,0,22 D C（0,1,0） B（1,1,0） （1,0,0）A 1??E 1,,0??2? ? 答案： 2CCAB例2：07福建正三棱柱ABC-中，所有棱长为2，D为C中点， 1111⑴求证： BAA?面BD11A⑵求二面角的正弦值 A?D-B1A⑶求C到平面的距离 BD1取AB的中点O，则COAB ?CC又∵ 面ABC?面A，OC?面ABC，面ABC?面A?AB11CA∴OC面 ?CB再取的中点F如图所示建立空间直角坐标系 11 A C 1C D 1 B F O B A 1 102答案： , 42
（0,0，k）S
1
注：本题在建系时使用了面面垂直性质定理及正棱柱的结构特征 练习1、（08全国Ⅰ）如图，四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，? BC=2，CD=，AB=AC 2⑴证明：ADCE ??⑵设CE与平面ABE所成的角为，求二面角C-AD-E的余弦值 45取BC，DE中点O,F 证AO面BCDE ? A（0,0，k）