AM?面NC11 A1C 1 M B 1 C A N B CABB练习：如图，
在直三棱柱ABC-中，AB=BC=，D为AC的中点 B1111BA⑴求证:
C||面BD11CCABBAA?面BD?面AB⑵若求证： 111111CAD⑶在⑵
的条件下，设AB=1，求三棱锥B-的体积 11II，面面垂直的判定与
性质 面面垂直的判定方法 ①空间垂直关系转化图：利用线面垂
直证面面垂直 ②向量法 ?ABC例1如图，为正三角形，，BD||CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点， EC?平面ABC求证：⑴DE=DA ⑵平面BDM平面ECA ?⑶平面DEA面ECA ?
E 取
AC中点N,证明DN||BN再证BN面ECA，利用线面垂?
D 直的性质定理知DM面ECA ? M 最后利用线面垂直证面面垂直 C B A ??9060例2已知中，，BC=CD=1，，，E，F?BCD?ADB??BCD?面AB?BCDAEBF??分别是AC，AD上动点，且 ????0? ACAD?1?求证：⑴不论为何值时，总有平面BEF面ABC ??⑵当为何值时，平面BEF面ACD ? A E F C D B 第二问是存在性问题 当BEF面ACD时 ?由一问可知又
∵∴∵BEF
面
ACD
，
BE?ABCEF?面
BEF?
面面
ABCEF?BE?BE?BEFAC?ACDBE?∴∵∴AC
ACD?EFBE?面ACD?利用射影定理求AE从而求 设计说明： ①
本题是存在性问题，解决存在性问题可以把结论当已知探索使得已知成立的充分性条件 ②解决与空间几何有关的存在性问题最好用向量法 练习：1、如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P，Q分别为线段AB，CD的中点，EP面ABCD ?⑴求证：DP面
EPC ?⑵问在EP上是否存在F，使平面AFD面BFC ?
E 问题⑴利用线线垂直证线面垂直，在寻找线线垂直条件 B
C 时采用“算垂直”的DP?AC方法 P Q A D ?602、如图
所示在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是，且边长为a的菱形，侧面?
DAB?PAD
为正三角形，其所在的平面垂直于底面
ABCD ⑴若G为AD的中点，求证： BG?面PAD⑵求证：
AD?PB⑶若E为BC中点，能否在棱PC上找到一点F，使平
面，并证明你的结DEF?面ABCD论 分析：问题⑶是存在
性问题，可以把结论当已知找条件，寻找的过程可省略。但本题要求证明即把条件当已知证结论 CABDD1、 如图所示，在四棱柱ABCD-中，已知DC==2AD=2AB，ADDC，AB||DC
D?
11111CD⑴求证: C?A11DA⑵设E是DC上一点，试确定E的位置，使，并说明理由 E||面BD11 D C1 1AB 11 D C A B 一、折叠问题 ??4590例如图，四
边形
ABCD
中，AC||BC，AD=AB，，，将沿
?BCD??BAD?? ABD
对角线BD折起，记折起后点的位置为P，且使平面PBD面BCD ? P D A D E E C B C B F ⑴求证：平面 PBC?面PDC⑵在折叠前的正方形ABCD中，做AE于E，过E作于F，求在折起后的图形EF?BC?BD中的正切值 ?PFE设计说明：对于折叠问题，关键是抓住图形折叠前后的不变量及重要的折叠条件 空间直角坐标系及空间向量法 一， 空
间直角坐标系 1、右手系：伸出右手，弯曲四指使得四指与掌面垂直，大拇指向上垂直翘起，四指的方向为x轴，手掌向里的方向为y轴，大拇指的方向为z轴，三轴的公共点为z轴 2、卦限：数轴上原点把数轴分成正负半轴。在坐标平面上，x轴，y轴把平面分成四个象限， 在空间三个坐标平面把空间分成八个卦限 z Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅰ y Ⅶ Ⅵ Ⅷ Ⅴ x 注:建系时最好建成右手系，并且尽量把图形放在第一卦限，在坐标轴或坐标平面上的点越多越好，关于坐标平面对称的点越多越好 一、空间直角坐标系上点的坐标： 求一个点的坐标就是找该点在x轴，y轴，z轴上的坐标分量 CABD?ABCD已知正方体棱长为2，如图所示以正方体的中心O为原点建立空间1111直角坐标系
z D
C 1 P M K G A H B11 L J y O C D
1
I E F N B x A 1、 在轴上点的坐标： P（x,0,0） P（0,y,0） p（0,0，z） P?x轴P?z轴P?y轴2、 在坐标平面上点的坐标 ，P（x,y,0） ,P（0,y,z） ,P（x,0,z） P?xoz平面
上
P?xoy平面上P?yoz平面上
yy???xxzz????????yy121212xxzz则AB中点3、已知, A,,B,,P,, ??12122212???、与?P4P（x,y,z）关于定点A（a,b,c）对称点的 2a?x,2a?y,2a?z15、关于坐标平面对称点的坐标 ??P与P（x,y,z）关于xoy平面对称点的坐标 x,y,?z1??与PP（x,y,z）关于xoz平面对称点的坐标 x,?y,z16、若P点在xoy面的射影为L点，则P点与A点的x,y轴分量相同，
P点z轴分量为P点到面xoy的距离 二、空间向量的坐标运算 注：空间向量的加法，减法，数乘的几何意义；两个向量的共线条件；向量的内积运算公式与平面向量完全相同 空间向量的坐标运算公式
???????yyyyxxzzxx若则
ABzzA,,,B,,??,?,?121221211221??????yyaxbxzz若已知， ,,,,121212????yyxabxzz???加,?减,?法: 121212???yxa???数乘：?z? 111,,
??yy内积： abxxzz?????121212 2 ????222yaaxz模 ??????111?其它一些常用公式? 22222 ??????????????????
abababababab????2??????????????yyabxx ?????
zz????????0121212????baba设直线a的方向向量为，直线b的方向向量为 ??a||b三、直线的方向向量与平面的法向量 注：直线的方向向量与平面的法向量都不取零向量 1、 直线的方向向量：在直线上或与直线平行的向量叫做直线的方向向量 2、 平面的法向量：和平面上两条不共线向量都垂直的向量叫做平面的法向量 下面介绍平面法向量的求法 ?????????例：已知：已知，求abnab 与的法向量?1,1,0,?0,1,1???设 nx,y,z?????nana0 ??????????nbnb0 ??x?y??∴0? ?y?z?0?由于x每给一个值，就各有一个与之对应的y值和z值，由此说明一个平面的法向量有无穷多个，这和常识也是相符的，我们只需取其中一个法向量即可 令x=1,y=-1,z=1 ???∴n 1,?1,1 一、向量法分析空间线线，线面，面面的位置关系 ????，分别为直线lml,m的方向向量;分别为平面的法向量 ??nn,12㈠线线平行： 1、 文字语言：两直线的方向向量平行则线线平行 2、 图形语言： ??????lmlm???在这里强调?||?R ????m0l0??但反之不对,,当时，这是不可以的 这样写正确： ??? ?
?
,
?
l l ? m m 3、符号语言： ??????lmlm??
??||?l||m?R ㈡线面平行： 1、 文字语言：如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则线面平行 2、 图形语言： ?l l ? n1? ????、 ll?符号语言：3 nn??0???l||11 ㈢面面平行： 1、 文字语言：如果两个平面的法向量共线则面面平行 2、 图形语言： ? ? n1 n2? ? 3、 符号语言： ??????? nnnn??||? ||1212 ㈣线线垂直： 1、 文字语言：两直线的方向向量垂直则线线垂
直 2、 图形语言： ? l l ?m m ????、lnlm3 符号语言： ??0???l?㈤线面垂直：m 1、 文字语言：如果直线的方向向量与平面内的两条不共线向量垂直则线面垂直 2、 图形语言： l ?l ?b ? ? a 3、 符号语言： ????????ababalbl?? 且 与 不,?共线，??0,??0?㈥面面垂直：l? 1、 文字语言：如果两个平面的法向量垂直则面面垂直 2、 图形语言： ?? n?2 n1? 3、 符号语言：
???? ??nnnn??0??二、空间角??1112 ㈠空间角的范围 ????0??、线线角的范围?1 2、异面直线所成角的范围 090090,,???00?、线面角的范围?3 4、斜线与平面所成的角范围 090090,,????00?、二?5面角的范围 6、向量夹角范围 01800180,,????、直线的倾斜角范围7 0180,㈡空间角的定义： 1、 异面直线所成角的定义：略 2、 斜线与平面所成角的定义：斜线与平面所成的角等于斜线与它在这个平面上的射影所成的角 ?如图l为平面的垂线，m为?平面的斜线，n为斜线m在 m l ?平面上的射影
? m,?m,n n 注：求线面角关键找
与斜线有? 交点的平面的垂线 注：在用定义法求线面角时常会用到空间垂直关系相关定理（特别是线面垂直的判定定理，线面垂直定义，面面垂直性质定理），三垂线定理及推论，直（正）棱柱的结构特征，正棱锥的结构特征，正棱锥的判定方法 CCABABAC例：已知正三棱柱ABC的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所A111111成角的正弦值 6答案： 4
C
CABDB
A练习：⑴在长方体ABCD-中，AB=BC=2，则与平面A?1111111BD所成角的正弦值 BD11 10答
案： 5⑵正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成角为 ?
答案： 453、 二面角的定义：在二个平面内各引一条与交线垂直
的直线，这两条垂线所成的角就是这两个平面所成的二面角的平面
角 ? n ? ????m?,n?,??l,m,n?l ??,?二面角的求法： ⅰ）定义法：在用定义法求二面角时常会用到空间平行及垂直关系相关定理，三垂线定理及推论，直（正）棱柱的结构特征，正棱锥的结构特征，正棱锥的判定方法 利用定义计算二面角常常使用余弦定理。 例1已知已知正四棱锥的体积是12，底面对角线长，则侧面与底面所成的二面角等于 26?答案： 3ⅱ）平移
m,n m l