仅供个人参考
19．（本小题满分14分）
设数列an的前n项和为Sn，已知a1?2，a2?8，Sn?1?4Sn?1?5Snn?2，
????Tn是数列?log2an?的前n项和.
（1）求数列an的通项公式； （2）求Tn； （3）求满足?1?????1??1?1???????T2??T3??1?1010??1??的最大正整数n的值. ???Tn?2013?20．（本小题满分14分）
已知椭圆C1的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1(?2,0)，F22,0，点A(2,3)在椭圆
??C1上，过点A的直线L与抛物线C2:x2?4y交于B,C两点，抛物线C2在点B,C处的
切线分别为l1,l2, 且l1与l2交于点P. (1) 求椭圆C1的方程；
(2) 是否存在满足PF指出这样的点P有几个（不1?PF2?AF1?AF2的点P? 若存在，必求出点P的坐标）; 若不存在，说明理由.
21．（本小题满分14分）
x2x3??已知n?N，设函数fn(x)?1?x?23*x2n?1?,x?R. 2n?1（1）求函数y?f2(x)?kx(k?R)的单调区间；
*（2）是否存在整数t，对于任意n?N，关于x的方程fn(x)?0在区间??t,t?1??上有唯
一实数解，若存在，求t的值；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1） 解：∵当n?2时，Sn?1?4Sn?1?5Sn，
∴Sn?1?Sn?4Sn?Sn?1. ……………1分 ∴an?1?4an. ……………2分 ∵a1?2，a2?8，
??不得用于商业用途
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∴a2?4a1. ……………3分
∴数列an是以a1?2为首项，公比为4的等比数列.
∴an?2?4n?1?22n?1. ……………4分
（2） 解：由（1）得：log2an?log222n?1?2n?1， ……………5分 ∴Tn?log2a1?log2a2? ?1?3????log2an
??2n?1? ……………6分
……………7分
?n?1?2n?1?22 ?n . ……………8分
?1??1?（3）解： ?1????1?T???T?2??3??1????1?T??
n???1??1???1?2??1?2??2??3???1?3?2?4?3?5?2?3?4?222?1???1?2? ……………9分
n????n?1??n?1??n2 ……………10分
?n?1. ……………11分 2nn?110104?，解得：n?287. ……………13分 2n20137令
故满足条件的最大正整数n的值为287. ……………14分
20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）
x2y2(1) 解法1：设椭圆C1的方程为2?2?1?a?b?0?,
ab?2232?2?2?1,依题意: ?a解得: b?a2?b2?4.?2??a?16, ……………2分 ?2b?12.??不得用于商业用途
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x2y2??1. ……………3分 ∴ 椭圆C1的方程为
1612x2y2解法2：设椭圆C1的方程为2?2?1?a?b?0?，
aba?4， ……………1分 根据椭圆的定义得2a?AF1?AF2?8，即
∵c?2， ∴b?a?c?12. ……………2分
222x2y2??1. ……………3分 ∴ 椭圆C1的方程为
1612(2)解法1：设点B(x1,121212x1),C(x2,x2)，则BC?(x2?x1,(x2?x12))， 4441BA?(2?x1,3?x12)，
4∵A,B,C三点共线,
∴BC//BA. ……………4分 ∴x2?x1?3?????12?12x1??x2?x124?4???2?x?,
1化简得：2(x1?x2)?x1x2?12. ① ……………5分 由x2?4y,即y?112x,得y??x. ……………6分 42∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y?12x1x1?(x?x1)， 42即y?x11x?x12. ② ……………7分 24x212x?x2. ③ ……………8分 24同理，抛物线C2在点C处的切线l2的方程为 y?设点P(x,y)，由②③得：
xx1121x?x12?2x?x2，
2424而x1?x2，则 x?1(x1?x2). ……………9分 2不得用于商业用途
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代入②得 y?1x1x2， ……………10分 4则2x?x1?x2，4y?x1x2代入 ① 得 4x?4y?12，即点P的轨迹方程为
y?x?3. ……………11分
若PF1?PF2?AF1?AF2 ，则点P在椭圆C1上，而点P又在直线y?x?3上，
……………12分
∵直线y?x?3经过椭圆C1内一点(3,0),
∴直线y?x?3与椭圆C1交于两点. ……………13分 ∴满足条件PF1?PF2?AF1?AF2 的点P有两个. ……………14分 解法2：设点B(x1,y1),C(x2,y2)，P(x0,y0)， 由x2?4y,即y?112x,得y??x. ……………4分 42∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y?y1?x1(x?x1)， 2即y?x11x?y1?x12. ……………5分 22∵y1?x12x1， ∴y?1x?y1 . 42x1x0?y1. ① ……………6分 2∵点P(x0,y0)在切线l1上, ∴y0?同理， y0?x2x0?y2. ② ……………7分 2xx0?y. ……8分 2综合①、②得，点B(x1,y1),C(x2,y2)的坐标都满足方程 y0?∵经过B(x1,y1),C(x2,y2)两点的直线是唯一的， ∴直线L的方程为y0?xx0?y， ……………9分 2∵点A(2,3)在直线L上， ∴y0?x0?3. ……………10分 ∴点P的轨迹方程为y?x?3. ……………11分 不得用于商业用途
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若PF1?PF2?AF1?AF2 ，则点P在椭圆C1上，又在直线y?x?3上，…12分 ∵直线y?x?3经过椭圆C1内一点(3,0),
∴直线y?x?3与椭圆C1交于两点. ……………13分 ∴满足条件PF1?PF2?AF1?AF2 的点P有两个. ……………14分 解法3：显然直线L的斜率存在，设直线L的方程为y?kx?2?3，
????y?k?x?2??3,2 由?消去y，得x?4kx?8k?12?0. ……………4分
2??x?4y,设Bx1,y1,Cx2,y2,则x1?x2?4k,x1x2?8k?12. ……………5分 由x2?4y,即y?????112x,得y??x. ……………6分 42∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y?y1?x1(x?x1)， 2即y?x11x?y1?x12. ……………7分 22∵y1?x112x1， ∴y?1x?x12. 424同理,得抛物线C2在点C处的切线l2的方程为y?x212x?x2. ……………8分 24?x1y?x???2由??y?x2x???2?x1?x212x1,x??2k,??24解得? 12?y?x1x2?2k?3.x2,??44∴P2k,2k?3. ……………10分 ∵PF1?PF2?AF1?AF2,
??x2y2??1上. ……………11分 ∴点P在椭圆C1:1612∴
?2k?162??2k?3?122?1.
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