仅供个人参考
切线平行于x轴．
（1）确定a与b的关系；
（2）若a?0，试讨论函数g(x)的单调性；
（3）设斜率为k的直线与函数f(x)的图象交于两点A(x1,y1),B(x2,y2)，（x1?x2） 证明：
11?k?． x2x120.解：（1）设P(x,y)，则有F1P?(x?c,y)，F2P?(x?c,y)-------------1分
a2?122PF1?PF2?x?y?c?x?1?c,x???a,a? -----------------2分 2auuuruuur22由PF1?PF2最小值为0得1?c?0?c?1?a?2，-------------------3分
222x2?y2?1．---------------------------------------------4∴椭圆C的方程为2分
（2）把l1的方程代入椭圆方程得(1?2k2)x2?4mkx?2m2?2?0
∵直线l1与椭圆C相切，∴??16k2m2?4(1?2k2)(2m2?2)?0，化简得
m2?1?2k2------------------------------------------------------------------------------------7分
同理
可
得
：
n2?1?2k2---------------------------------------------------------------------8分
∴m?n，若m?n，则l1,l2重合，不合题意， ∴
22m?n?0分
，即
-------------------------------------------------------------------9
m??n（3）设在x轴上存在点B(t,0)，点B到直线l1,l2的距离之积为1，则
|kt?m||kt?m|??122k?1k?1，即
|k2?t2|?m，?1k--------------------------------------11分 把1?2k?m代入并去绝对值整理，
22k2(t2?3)?2或者k2(t2?1)?0
前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的k?R恒成立 则
t2?1?0，解得
t??1；
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----------------------------------------------------------------------13分 综上所述，满足题意的定点B存在，其坐标为(?1,0或(1,0) ---------------------------14分
21．解：（1）依题意得g(x)?lnx?ax2?bx，则g'(x)?1?2ax?b x由函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴得：g'(1)?1?2a?b?0
∴
b??2a?1-------------------------------------------------------------------------3分
2ax2?(2a?1)x?1(2ax?1)(x?1)?（2）由（1）得g'(x)?--------ks5u-----------4
xx分
∵函数g(x)的定义域为(0,??) ∴当a?0时，g'(x)??x?1 x由g'(x)?0得0?x?1，由g'(x)?0得x?1，
即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)单调递减；
-------------------------------------5分 当a?0时，令g'(x)?0得x?1或x?若
1， 2a1111?1，?x?1，即a?时，由g'(x)?0得x?1或0?x?，由g(')x0?得
2a2a2a211)，,1)单调递减；(1,??)上单调递增，即函数g(x)在(0,在(-----------------62a2a分 若
1111?1，')x0?得1?x?即0?a?时，由g'(x)?0得x?或0?x?1，由g(，
2a2a22a11)单调递减；------------7分 即函数g(x)在(0,1)，(,??)上单调递增，在(1,2a2a11?1，即a?时，在(0,??)上恒有g'(x)?0， 若2a2g(x)(0,??)即函数在上单调递增，
------------------------------------------------------------8分
综上得：当a?0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)单调递减；
当0?a?调递增；
111)单调递减；在(,??)上单时，函数g(x)在(0,1)单调递增，在(1,22a2a1时，函数g(x)在(0,??)上单调递增， 2111)上单调递增，在(,1)单调递减；在(1,??)上单调递增．当a?时，函数g(x)在(0,
22a2a当a?-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分
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（3）证法一：依题意得k?y2?y1lnx2?lnx1， ?x2?x1x2?x1111lnx2?lnx11证 ?k?，即证??x2x1x2x2?x1x1因，即证x2?x1?0x2?x1xx?x?ln2?21---------------------------------------------10分 x2x1x11x2令?t（t?1），即证1??lnt?t?1（t?1）
tx1------------ks5u------------------11分 令h(t)?lnt??1（t?1）则h'(t)??∴h(t)在（1，+?）上单调递增，
1t11t?1?2?0 2tttnt?1?（t?1）∴h(t)?h(1)=0，即l--------------②-----------------------13
分 综
①
②
得
1t11??lnt?t?1t（
t?1），即
11?k?．-----------------------------------14分 x2x1【证法二：依题意得k?分
y2?y1lnx2?lnx1-------------10??lnx2?kx2?lnx1?kx1，
x2?x1x2?x11?k,-------------11分 x111由h?(x)?0得x?，当x?时，h?(x)?0，当0?x?时，h?(x)?0，-----------12
kkk令h(x)?lnx?kx,则h?(x)?分
11?h(x)在(0,)单调递增，在(,??)单调递减，又h(x1)?h(x2),-------------13分
kk1?x1??x2,即
k11?k?--------------------------------------------------------------------x2x114分】
x11,则h?(x)??,-------------10分 x1xx1当x?x1时，h?(x)?0,∴函数h(x)在(x1,??)单调递减，-------------11分
xlnx2?lnx11∴当x2?x1时，h(x2)?h(x1)?lnx2?2?lnx1?1，即?；--------12
x1x2?x1x1【证法三：令h(x)?lnx?分
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同理，令
m(x)?lnx?x,x2可证得
1lnx2?lnx1-----------------------------------------14分】 ?x2x2?x1y?y1lnx2?lnx111【证法四：依题意得k?2，??k?
x2?x1x2?x1x2x11lnx2?lnx11????x1lnx2?x1lnx1?x2?x1?x2lnx2?x2lnx1-------------x2x2?x1x110分
令h(x)?x?x1lnx?x1lnx1?x1,则h?(x)?1?x1, x，
即
当x?x1时，h?(x)?0,∴函数h(x)在(x1,??)单调递增，
时，x2?x1h(x2)?h(x1)?0分 x1l?nx2?x1-------------------------12ln?xxxx令m(x)?x?x2lnx?x2lnx2?x2,则m?(x)?1?2,
x当x?x2时，m?(x)?0,∴函数m(x)在(0,x2)单调递减，
∴当x1?x2时，m(x1)?h(x2)?0，即x2?x1?x2lnx2?x2lnx1； ∴
当
所以命题得证 19．（本小题满分14分）
已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1?1，nan?1?2Sn(n?N*). （1）求a2,a3,a4的值； （2）求数列{an}的通项an； （3）设数列{bn}满足bn?20．（本小题满分14分）
已知圆C的方程为x?y?2x?7?0，圆心C关于原点对称的点为A，P是圆上任一点，线段AP的垂直平分线l交PC于点Q.
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹L方程； （2）过点B（1，
222，求数列{bn}的前n项和Tn.
(n?2)an1）能否作出直线l2，使l2与轨迹L交于M、N两点，且点B是线2段MN的中点，若这样的直线l2存在，请求出它的方程和M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分14分）
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?x2?a(lnx?1)(0?x?e)?若f(x)??2，其中a?R． ??x?a(lnx?1)(x?e)2（1）当a??2时，求函数f(x)在区间[e,e]上的最大值； （2）当a?0时，若x??1,???，f(x)?19．（本小题满分14分）
3a恒成立，求a的取值范围． 2解：（1）由a1?1,nan?1?2Sn(n?N?)得 a2?2a1?2 ， （1分）
a3?S2?a1?a2?3， （2分）
由3a4?2S3?2(a1?a2?a3)得a4?4 （3分） （2）当n?1时，由nan?1?2Sn ① ，得(n?1)an?2Sn?1 ② （4分） ①－②得nan?1?(n?1)an?2(Sn?Sn?1)，化简得nan?1?(n?1)an， （5分）
∴
an?1n?1（n?1）. （6 分） ?anna33an （7 分） ?，……，n?a22an?1n?13n????n（n?1） （8 分） 2n?1∴a2?2，
以上（n?1）个式子相乘得an?2?又a1?1，∴an?n(n?N?) （9 分）
（3）∵bn?∴Tn???1?2211 （11分） ???(n?2)an(n?2)nnn?2?111111????? （12分） n?2nn?1n?1nn?2111111?????13243511132n?3???? （14分） 2n?1n?22(n?1)(n?2)20．（本小题满分14分）
解：（1）如图，由已知可得圆心C(?1,0)，半径r?22，点A（1，0） （1分） ∵点Q是线段AP的垂直平分线l与CP的交点，∴ |QP|?QA| （2分） 又∵|PQ|?|QC|?22，∴|QA|?|QC|?22?AC?2 （3分） 不得用于商业用途