2?mxm??ceq?eqxmEeq=?fceqmxm??ceqx (1.4.7)
令Eeq = Ed , 可得
ceq?4k(1??s)(??1)??eq?2 (1.4.8)
?eq?ceq2m?eq??2k(1??s)(??1)2k(1??s)(??1)? (1.4.9) 2m??eq?2?keq?22(1??s)(??1) ??(1??s??s?)? 等效阻尼比的能量表达式
?eq?式中Es为等效应变能或等效弹性势能：
Ed (1.4.10)
4?EsEs?12keqxm (1.4.11) 2对于多自由度体系，采用能量方法 计算等效阻尼比特别方便。 ? 割线刚度法的误差
割线刚度法在大部分情况下低估了结构反应，误差 达30-40％。图1.4.9为割线刚度法在22条地震记录下的平均精度。其中结构在线性时的阻尼比为5%，场地类型中等偏硬，5条曲线分别表示延性反应为1.5至6时的计算精度。
20100-10-20-30-40-50-600.0(%) ?=1.5 ?=2.5 ?=4 ?=5 ?=60.51.01.52.02.53.0T(s) 图1.4.9 割线刚度法的误差
4.2.2 其它等效线性化方法
? 刚度和能量平均法(采用位移幅值等概率分布假定 )
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?sk k 0 keq x 图1.4.10 刚度和能量平均法
k??seq?k[?s?1?(1?ln?)] ?eq?[?2?2??1](1??s)??2[? s??(1??s)(1?ln?)]? 刚度和阻尼系数平均法(采用位移幅值等概率分布假定 )
k?k[?1??seqs??(1?ln?)] ?2(1??s)(?ln????1)eq???[?(1???)] s??s)(1?ln? Iwan经验系数法(理想弹塑性，即?s＝0 )
keq?k[1?0.121(??1)0.939]?2 ?0.371eq?0.0587(??1) ? Hwang 经验系数法
k?2[1??s(??1)]eq?k[?2?0.737(??1)]2 ?2(1??s)(??1)eq???0.42(6?10?? s)[1?s(??1)]? 不同恢复力模型的等效参数 (Guyader and Iwan, 2006)
双线性刚度衰减捏拢模型 图1.4.11 不同恢复力模型的等效参数
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(1.4.12)
(1.4.13) (1.4.14)
(1.4.15)
(1.4.16)
(1.4.17)
(1.4.18)
(1.4.19)
例题：单自由度结构参数见下表，求大震下位移。
解：结构的弹性周期为
T?2?m120?2??0.3s k53760场类的特征周期为
Tg?0.4s
地震影响系数为??0.9
地震作用为Fek??mg?0.9?1200?1080kN
(0)x?Fek/k?1080/537.6?2cm m最大位移为
延性系数为
?(1)?xm(0)/xy?2/1?2keq?k(1??s??s?)
把
?s?0代入k?，得
keq(1)??(1)?m537.6?268.8kN/cm2
?2?120?0.42s26880Teq(1)?2?keq(1)
把
?s?0代入
(1)?eq?2(1??s)(??1)??(1??s??s?)，得
?eq?2?(1)?1??(1)?22?1?0.318?2
?2(1)?1?0.05?(?eq(1)?0.05)0.06?1.7(?eq(1)?0.05)?0.536?0.55 (1)??0.55 2因此取
?(1)?0.9?0.05?(?eq(1)?0.05)0.5?5(?eq(1)?0.05)TgTeq(1)?0.7641
?(1)??2(1)()??max?0.55?((1)0.40.7641)?0.9?0.47690.42
Fek(1)??(1)mg?0.4769?1200?572.28kNxm(1)?Fek(1)/keq(1)?572.28/268.8?2.129cm
18
?(2)?xm(1)/xy?2.129/1?2.129keq(2)?k
?(2)?m537.6?252.5kN/cm2.129
?2?120?0.433s25250120?0.433s25250Teq(2)?2?keq(2)
Teq(2)?2?mkeq(2)?2?
?2(2)?1?因此取?20.05?(?eq(2)?0.05)0.06?1.7(?eq?0.55
(2)?0.05)?0.5303?0.55
(2)?(2)?0.9?0.05?(?eq(2)?0.05)0.5?5(?eq(2)?0.05)TgTeq)?(2)(2)?0.7615
?(2)??2(2)?max(?0.55?0.9?(0.40.7615)?0.4660.433
Fek(2)??(2)mg?0.466?1200?559.2kN
xm(2)?Fek(2)/keq(2)?559.2/252.5?2.215cmxm(2)?xm(1)2.215?2.129??4%?5%(1)xm2.129
3.多自由度结构
在对多自由度非线性结构按层进行等效线性化时，一个困难的问题是结构层刚度如何确定。为了搞清楚这个问题，有必要从更基本的概念入手。
3.1 弯曲和剪切变形概念 ? 微元体（弹性力学）：
在微元体这个层次，一般用应变表征变形。应变只有两种，即正应变及剪应变，如图1.4.12所示。
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(a)正应变
图1.4.12 微元体的应变
(b)剪切应变
? 构件（材料力学）：
对于杆件而言，变形可分为轴向、剪切、弯曲及扭转变形，前三种变形如图1.4.13所示。如果不考虑扭转，构件变形的一般计算公式为：
???MMpEIds??NNpEAds??kqQQpGAds (1.4.20)
式中Mp、Np、Qp为实际荷载引起的内力，M、N、Q为虚设单位力引起的内力。当此构件为一如图1.4.13所示的悬臂柱时，N?0。所以
???MMpEIds??kqQQpGAds (1.4.21)
另外，对于杆件而言，剪应变可忽略不计，因此 EI由上式可看出，柱的侧移仅于弯曲变形决定。
???MMpds (1.4.22)
p ds (a)轴向变形
ds ds (b)剪切变形
ds (c)弯曲变形
图1.4.13 悬臂杆的变形
? 结构（结构力学）
如果把结构等效为一个悬臂柱，则按造此悬臂柱截面变形的特征，结构的侧向变形可分为弯曲型变形、剪切型变形和弯剪型变形，相应的结构类型即弯曲型结构、剪切型结构和弯剪型结构。所谓弯曲型变形是指此等效悬臂柱截面仅发生转动，剪切型变形指此截面只发生平动，而弯剪型变形
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