极限和导数
相关知识
1.导数的有关概念。 (1)定义：
函数y=f(x)的导数f(x)，就是当?x?0时，函数的增量?y与自变量的增量?x的比极限，即f(x)?lim//
?y的?x?yf(x??x)?f(x)?lim。
?x?0?x?x?0?x(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。 (3)几何意义：
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。 2． 求导的方法： (1)常用的导数公式：
C=0（C为常数）； (x)=mx(m∈Q); (sinx)=cosx; (cosx)= -sinx ; (e)=e; (a)=alna
x/
x
x/
x//
m/
m-1
/
(lnx)/?1; x1(logax)/?logae.
x(2)两个函数的四则运算的导数：
(u?v)/?u/?v/;(uv)/?u/v?uv/;/
u/v?uv/?u?(v?0).???2v?v?(3)复合函数的导数：y3.导数的运用： (1)判断函数的单调性。
当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f(x)>0，则f(x)为增函数；如果f(x)<0，则f(x)为减函数。
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/
/
/x?y/u?u/x
(2)极大值和极小值。
设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)
A类例题 例1求函数的导数
(1)y?1?x (2)y?(ax?bsin2?x)3 (3)y?f(x2(1?x2)cosx?1)
(1)解:y??(1?x)?(1?x2)cosx?(1?x)[(1?x2)cosx]?(1?x2)2?cos2x ??(1?x2)cosx?(1?x)[(1?x2)?cosx?(1?x2)(cosx)?](1?x2)2cos2x??(1?x2)cosx?(1?x)[2xcosx?(1?x2)sinx](1?x2)2cos2x
(x2?2x?1)cosx?(1?x)(1?x2?)sinx(1?x2)2cos2x(2)解 y=μ3
,μ=ax－bsin2
ωx,μ=av－by v=x,y=sinγ γ=ωx
y′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′
=3μ2(av′－by′)=3μ2
(av′－by′γ′)
=3(ax－bsin2ωx)2
(a－bωsin2ωx) (3)解法一 设y=f(μ),μ=v,v=x2
+1,则
y′x=y′′x=f′(μ)·1－1μμ′v·v2v2·2x
=f′(x2?1)·
112
x2·2x?1=
xf?(x2?1),
x2?1解法二 y′=［f(x2?1)］′=f′(x2?1)·(x2?1)′
11=f′(x2?1)·2?2(x+1)2·(x2
+1)′
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?12
=f′(x?1)·(x+1) 2·2x
212=
xx2?1f′(x2?1)
说明 本题3个小题分别涉及了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导类型
解答本题的关键点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数
本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错
例2．观察(xn)??nxn?1，(sinx)??cosx，(cosx)???sinx，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
f(x??x)?f(x)?f?(x)
?x?0?xf(?x??x)?f(?x)f(x??x)?f(x)?lim f?(?x)?lim
?x?0?x?0??x??xf(x??x)?f(x)??f?(x) ?lim??x?0??解：若f(x)为偶函数 f(?x)?f(x) 令lim∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数
另证：f??[f(?x)]??f?(?x)?(?x)???f?(x)
∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数
32
例3已知曲线C y=x－3x+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标
解 由l过原点，知k=
y032
(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x0－3x0+2x0, x0∴
y02
=x0－3x0+2 x0y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2
又k=
y022
,∴3x0－6x0+2=x0－3x0+2 x02x0－3x0=0,∴x0=0或x0=由x≠0,知x0=
2
3 23 2333233∴y0=()－3()+2·=－
2228∴k=
y01=－ x04用心 爱心 专心
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∴l方程y=－
133x 切点(，－) 428情景再现 ?x21．y?f(x)???ax?b x?1 在x?1处可导，则a? b? x?12．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：
f(a?h2)?f(a)f(a?3h)?f(a?h) （1）lim； （2）lim
?h?0?h?02hh
3．设f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)，求f′(1)。
B类例题 例4 (1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义；
(2)若f(x)在R上可导，且f(x)= -f(x)，求f(0)。
(1)解：如果函数y=f(x)在x=0处的改变量△y与自变量的改变量△x之比
/
?yf(0??x)?f(0)?，当?x?0时有极限，这极限就称为y=f(x)在x=0处的导数。?x?x记作f(0)?/lim?x?0f(0??x)?f(0)。
?x(2)解法一：∵f(x)= f(-x)，则f(△x)= f(-△x) ∴f(0)?/lim?x?0f(?x)?f(0)f(??x)?f(0)??lim
?x??x?x?0 当?x?0时，有??x?0 ∴f(0)??//lim??x?0f(??x)?f(0)??f/(0)
??x ∴f(0)?0。
解法二：∵f(x)= f(-x)，两边对x求导，得f(x)?f(x)?(?x)??f(x) ∴f(0)??f(0) ∴f(0)?0。
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链接说明 本题涉及对函数在某一点处导数的定义。题（2）可对其几何意义加以解释：由于f(x)=f(-x),所以函数y=f(x)为偶函数，它的图象关于y轴对称，因此它在x=x0处的切线关于y轴对称，斜率为互为相反数，点(0,f(0))位于y轴上，且f(0)存在，故在该点的切线必须平行x轴（当f(0)=0时，与x轴重合），于是有f(0)=0。在题（2）的解二中可指出：可导的偶函数的导数为奇函数，让学生进一步思考：可导的奇函数的导函数为偶函数吗？
例5 利用导数求和
2n－1*
(1)Sn=1+2x+3x+…+nx(x≠0,n∈N)
23n(2)Sn=C1n+2Cn+3Cn+…+nCn,(n∈N)
*
//
解 (1)当x=1时
1Sn=1+2+3+…+n=n(n+1);
2当x≠1时，
x?xn?1∵x+x+x+…+x=,
1?x两边都是关于x的函数，求导得
2
3
nx?xn?1(x+x+x+…+x)′=()′
1?x2
3
n1?(n?1)xn?nxn?1即Sn=1+2x+3x+…+nx=
(1?x)22
n－1
2n(2)∵(1+x)=1+C1nx+Cnx+…+Cnx,
n2
n两边都是关于x的可导函数，求导得
232nn－1n(1+x)n－1=C1+2Cx+3Cx+…+nC, nnnnx令x=1得，n·2
n－1
23n=C1n+2Cn+3Cn+…+nCn,
n－1
2n即Sn=C1n+2Cn+…+nCn=n·2
?
说明要注意思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力 通过对数列的通项
nn－1
进行联想，合理运用逆向思维 由求导公式(x)′=nx,可联想到它们是另外一个和式的导数 关键要抓住数列通项的形式结构
本题难点是学生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想 第(1)题要分x=1和x≠1讨论，等式两边都求导
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