22x2x?x(xln2?2)x?y?的单调性，求导得y??，易得为函数的极小值也是最小值24ln2xx2823222]?3而b3?2?b4，故t?b3? 点，又，所以[??ln293lneln2lne 注意：导数的引进为不等式的证明，甚至为研究数列的性质提供了新途径，充分地体现了数列作为一类特殊函数其本质所在。 特别提示：上几例充分体现了导数作为工具分析和解决一些如函数性质、方程、不等式、数列等问题的方法，这类问题用传统教材无法解决；此外，例10还说明了一点：欲用导数，得先构造函数。
例11 已知双曲线C:y?m(m?0)与点M（1，1），如图所示. x（1）求证：过点M可作两条直线，分别与双曲线C两支相切； （2）设（1）中的两切点分别为A、B，其△MAB是正三角形，
求m的值及切点坐标。 （1）证明：设Q(t,m)?C，要证命题成立只需要证明关于t的方t程
y?|x?t?kMQ有两个符号相反的实根。
m?1mt??2??t2?2mt?m?0，且t≠0，t≠1。
tt?1 y?|x?t?kMQ2设方程t?2mt?m?0的两根分别为t1与t2，则由t1t2=m<0，知t1，t2是符号相反的实数，且t1，t2均不等于0与1，命题获证。
（2）设A(t1,mm),B(t2,)，由（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，从而 t1t2t1?t21mmm(t1?t2)2m2?m,(?)???m，即线段AB的中点在直线y?x上。 22t1t22t1t22mmm?m(t1?t2)t2t1????1，?AB与直线y?x垂直。 t2?t1t2t1(t2?t1)又?kAB故A与B关于y?x对称， 设A(t,2
mm)(t?0)，则B(,t) tt有t-2mt+m=0 ①
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由kMAmm2??2,kMB??,?AMB?60?及夹角公式知
tk?t2m?2mt2mttan60??，即2??23 ②
t2mtm1??2mtt2由①得m? ③
2t?1mt214t(1?t)?(2t?1)??0 从而2??tm2t?12t?1mt2m3?1由②知2??23,2?3?2，代入③知t??
tmt2因此，m??,A(?
链接 求切线方程的常见方法有：1、数刑结合。2、将直线方程代入曲线方程利用判别式。3、利用导数的几何意义。 小结：深刻理解导数作为一类特殊函数，其几何意义所在，熟练掌握利用导数求函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法；导数的应用为研究函数性质、函数图象开辟了新的途径，成为勾通函数与数列、圆锥曲线等问题的一座桥梁；此外，导数还具有方法程序化，易掌握的显著特点。
情景再现
327．设t?0，点P（t，0）是函数f(x)?x?ax与g(x)?bx?c的图象的一个公共点，两
123?13?13?13?1,),B(,?)。 2222函数的图象在点P处有相同的切线.
（Ⅰ）用t表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数y?f(x)?g(x)在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围. 8． 已知函数f(x)??x?3x?9x?a. （Ⅰ）求f(x)的单调减区间；
（Ⅱ）若f(x)在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
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329．（2005山东）已知x?1是函数f(x)?mx3?3(m?1)x2?nx?1的一个极值点，其中
m,n?R,m?0，
（I）求m与n的关系式； （II）求f(x)的单调区间；
（III）当x???1,1?时，函数y?f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.
情景再现答案 ?x21．解 y?f(x)???ax?bx?1?x?1f(x)?1 在x?1处可导，必连续lim?x?1x?1limf(x)?a?b f(1)?1 ∴ a?b?1
?y?y?2 lim??a ∴ a?2 b??1
?x?0?x?x?0?xf(a?3h)?f(a?h)f(a?3h)?f(a)?f(a)?f(a?h)?lim2 解：（1）lim
h?0h?02h2hlim?f(a?3h)?f(a)f(a)?f(a?h)?limh?0h?02h2h3f(a?3h)?f(a)1f(a?h)?f(a) ?lim ?limh?0h?023h2?h31?f'(a)?f'(a)?2b22?lim?f(a?h2)?f(a)?f(a?h2)?f(a) （2）lim?lim?h? 2h?0h?0hh??f(a?h2)?f(a)?limh?f'(a)?0?0 ?lim2h?0h?0h
3．解： ∴ 令x=1得
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4．答案C
f(x0?a?x)?f(x0?a?x)?x?0?xf(x0?a?x)?f(x0)?f(x0)?f(x0?a?x)?lim?x?0 ?xf(x0?a?x)?f(x0)f(x0?a?x)?f(x0)?alim?alima?x?0?a?x?0a?x?a?x?2af/(x0)limx21x2?1) f(0)?0 f?(x)??1?x??0 5 证：（1）f(x)?ln(1?x)?(x?21?xx?1∴ y?f(x)为(0,??)上? ∴ x?(0,??) f(x)?0 恒成立
x2x2∴ ln(1?x)?x? g(x)?x??ln(1?x) g(0)?0
22(1?x)4x2?4x?2x212x2g?(x)?1????0 221?x4(1?x)4(1?x)x2∴ g(x)在(0,??)上? ∴ x?(0,??) x??ln(1?x)?0恒成立
2(1?x)（2）原式?sinx2? 令 f(x)?sinx/x x?) cosx?0 x?tanx?0
2cosx(x?tanx)???x?(0,)(0,)? f(x)?0∴ f?(x)? ∴
22x2?22x f()? ∴ sinx?
2??（3）令f(x)?tanx?2x?sinx f(0)?0
x?(0,?(1?cosx)(cosx?sin2x)f?(x)?secx?2?cosx? 2cosx22∴ tanx?x?x?sinx
x?(0,?) f?(x)?0 ∴ (0,?2)?
6 解：（1）f(x)的导数f?(x)??1，由此得切线l的方程 x2y?1?ax11??2(x?x1)， x1x1用心 爱心 专心
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（2）依题得，切线方程中令y?0，得
x2?x1(1?ax1)?x1?x1(2?ax1)，其中0?x1?（ⅰ）由0?x1?2， a2121，x2?x1(2?ax1)，有x2?0，及x2??a(x1?)?， aaa111∴0?x2?，当且仅当x1?时，x2?。
aaa11（ⅱ）当x1?时，ax1?1，因此，x2?x1(2?ax1)?x1，且由（ⅰ），x2?，
aa1所以x1?x2?。
a
7． 解：（I）因为函数f(x)，g(x)的图象都过点（t，0），所以f(t)?0，
32 即t?at?0.因为t?0,所以a??t.
g(t)?0,即bt2?c?0,所以c?ab.
又因为f(x)，g(x)在点（t，0）处有相同的切线，所以f?(t)?g?(t). 而f?(x)?3x2?a,g?(x)?2bx,所以3t2?a?2bt.
2323将a??t代入上式得b?t. 因此c?ab??t.故a??t，b?t，c??t.
（II）解法一y?f(x)?g(x)?x?tx?tx?t,y??3x?2tx?t?(3x?t)(x?t).
当y??(3x?t)(x?t)?0时，函数y?f(x)?g(x)单调递减. 由y??0，若t?0,则?322322tt?x?t；若t?0,则t?x??. 33由题意，函数y?f(x)?g(x)在（－1，3）上单调递减，则
tt(?1,3)?(?,t)或(?1,3)?(t,?).
33t所以t?3或??3.即t??9或t?3.
3又当?9?t?3时，函数y?f(x)?g(x)在（－1，3）上单调递减. 所以t的取值范围为(??,?9]?[3,??). 8． 解：（I）f'(x)??3x?6x?9.
令f'(x)?0,解得x??1或x?3,
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