f?x??a?x????x?2??x????ax3??2?????x2??2??2?????x?2?? ?b??a?2?????则??d??2a??b???????2??a ??d??????2a?2??AC?????∵?6?当
??????b?2d?b??4??????2?????2??16
a?a??a?22bb??3，∴当??6时，ACmax?43； aab??3时，ACmin?3 a故3?AC?43
10．解：（I）b?2时,h(x)?lnx?12ax?2x， 21ax2?2x?1. 则h?(x)??ax?2??xx因为函数h(x)存在单调递减区间，所以h?(x)<0有解.
又因为x>0时，则ax+2x－1>0有x>0的解.
22
①当a>0时，y=ax+2x－1为开口向上的抛物线，ax+2x－1>0总有x>0的解；
22
②当a<0时，y=ax+2x－1为开口向下的抛物线，而ax+2x－1>0总有x>0的解；
2
则△=4+4a>0,且方程ax+2x－1=0至少有一正根.此时，－1
（II）证法一 设点P、Q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），0 x1?x2, 2 C1在点M处的切线斜率为k1?12|x1?x2?, xx?2x1?x2x1?x2?2 C2在点N处的切线斜率为k2?ax?b|x?a(x1?x2)?b. 2 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2. 即 a(x1?x2)2??b，则 x1?x222(x2?x1)a2a2a?(x2?x12)?b(x2?x1)?(x2?bx2)?(x12?bx1) x1?x2222 =y2?y1?lnx2?lnx1. 用心 爱心 专心 - 21 - x2?1)x2x1x2(t?1),t?1.① ?. 设t?2,则lnt?所以lnx1?tx1x11?2x12(2(t?1)14(t?1)2,t?1.则r?(t)??令r(t)?lnt??. 1?tt(t?1)2t(t?1)2因为t?1时，r?(t)?0，所以r(t)在[1,??）上单调递增. 故r(t)?r(1)?0. 则lnt? 2(t?1). 这与①矛盾，假设不成立. 1?t故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 证法二：同证法一得(x2?x1)(lnx2?lnx1)?2(x2?x1). 因为x1?0，所以(x2xx?1)ln2?2(2?1). x1x1x1 令t?x2，得(t?1)lnt?2(t?1),t?1. ② x11t 令r(t)?(t?1)lnt?2(t?1),t?1,则r?(t)?lnt??1. 11t?11?2?2，所以t?1时，(lnt?)??0. tttt11故lnt?在[1，+?)上单调递增.从而lnt??1?0，即r?(t)?0. tt因为(lnt?)??于是r(t)在[1，+?)上单调递增. 故r(t)?r(1)?0.即(t?1)lnt?2(t?1).这与②矛盾，假设不成立. 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 1t11． 证明：（I）由于函数定义，对任意整数k，有 f?x?2k???f?x???x?2k??sin?x?2k???xsinx??x?2k??sinx?xsinx?2k?sinx （II）函数f?x?在R上可导，f'?x??xcosx?sinx ① 令f'?x??0，得：sinx??xcosx 若cosx?0，则sinx??xcosx?0，这与cos2x?sin2x?1矛盾，所以cosx?0。 当cosx?0时，f'?x??0?x??tanx ② 由于函数y??x的图象和函数y?tanx的图象知，f'?x??0有解。 用心 爱心 专心 - 22 - x02sin2x0x02tan2x0x04当f'?x0??0时，??f?x0????x0sinx0?sin2x?cos2x?1?tan2x?1?x2 0000222（II）证明：由函数y??x的图象和函数y?tanx的图象知，对于任意整数k，在开区间（k???2，k???2）内方程?x?tanx只有一个根x0， 当x?(k???,x0)时，?x?tanx，当x?(x0,k??)时，?x?tanx 22?而cosx在区间（k??因此x?(k???2，k???2）内，要么恒正，要么恒负 ?,x0)时f'?x0?的符号与x?(x0,k??)时f'?x0?的符号相反 22?综合以上，得：f'?x??0的每一个根都是f?x?的极值点 ③ 由?x?tanx得，当x?0时，tanx?0，即对于x0?0时，x0?(k??综合 ③、④ ：对于任意n?N? ，n??由：n???2,k?)?k?N?? ④ ?2?an?n? ?2?an?n?和?n?1???2?an?1??n?1??，得： ?2?an?1?an?3? ⑤ 2又：tan?an?1?an??但??an?1?an??an?1???an?tanan?1?tanana?a???n?1n?0， 1?tanan?1tanan1???an?1???an?1?an?1an3?时，tan?an?1?an??0 ⑥ 2综合 ⑤、⑥ 得： ?2?an?1?an?? 用心 爱心 专心 - 23 -