所以函数f(x)的单调递减区间为(??,?1),(3,??). （II）因为f(?2)?8?12?18?a?2?a,
f(2)??8?12?18?a?22?a,
所以f(2)?f(?2).
因为在(?1,3)上f'(x)?0,所以f(x)在[?1,2]单调递增,又由于
f(x)在[?2,?1]上单调递减,因此f(2)和f(?1)分别是f(x)在区间 [?2,2]上的最大值和最小值.
于是有22?a?20,解得a??2. 故f(x)??x3?3x2?9x?2. 因此f(?1)?1?3?9?2??7.
即函数f(x)在区间[?2,2]上的最小值为?7 9．解：(I)f?(x)?3mx2?6(m?1)x?n
∵x?1是函数f(x)的一个极值点 ∴f?(1)?0,即3m?6(m?1)?n?0 ∴n?3m?6
（II）由（I）知，f?(x)?3mx?6(m?1)x?3m?6=3m(x?1)?x??1?2????2???? m??当m?0时，有1?1?2，当x变化时，f(x)与f?(x)的变化如下表： m1?2 mx f?(x) f(x) 2????,1??? m???0 单调递减 2??1?,1? ?m???0 单调递增 1 ?1,??? ?0 单调递减 0 极小值 0 极大值 故有上表知，当m?0时，f(x)在???,1???22?(1?,1)单调递增，在单调递减，在?mm?(1,??)上单调递减.
2（III）由已知得f?(x)?3m，即mx?2(m?1)x?2?0
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∵m?0
2222(m?1)x??0即x2?(m?1)x??0,x???1,1?① mmmm122设g(x)?x?2(1?)x?，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
mm∴x?222??g(?1)?0?1?2???044∴?解之得??m又m?0所以??m?0 ??mm33?g(1)?0??1?0?即m的取值范围为(?4,0) 3 本节习题
x x≥0
/
1.已知函数y=f(x)= 那么y|x=0的值为（ ）
x x<0 A.0 B.1 C.1或0 D.不存在
3
2.已知曲线C:y=3x-x及点P(2,2)，则过点P可向C引切线的条数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.下列求导的式子中正确的是( )
A.[cos(1-x)]=-sin(-x) B.(e?x)/?e??e?x
/
2
C.(a)=xa D.(lnx/
x-1
1/1)?? xx4．函数y?asinx?1?sin3x在x?处有极值，则（ ） 331A.a=2 B.a=1 C.a? D.a= -2
23
2
5.函数y=x-3x，x?[a2?1,2]的最小值是a-1，则实数a的值是( )
A.0 B.a?3
2
11 C. a?? D.1 226.若f(x)=ax+bx+cx+d（a>0）为增函数，则( )
22
A.b-4ac>0 B.b>0,c>0 C.b=0,c>0 D.b-3ac<0
7． 函数y?f(x)在区间(0,??)内可导，导函数f?(x)是减函数，且f?(x)?0．设
x0?(0,??)，y? kx?m是曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程，并设函数
g(x)?kx?m．
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（Ⅰ）用x0、f(x0)、f?(x0)表示m； （Ⅱ）证明：当x?(0,??)，g(x)?f(x)；
32 （Ⅲ）若关于x的不等式x?1?ax?b?x3在[0,??)上恒成立，其中a、b为实数，
22求b的取值范围及a与b所满足的关系．
8． 已知函数f(x)?x3?bx2?cx?d的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6x?y?7?0. （Ⅰ）求函数y?f(x)的解析式； （Ⅱ）求函数y?f(x)的单调区间.
9． 已知f?x??ax3?bx2?cx?d是定义在R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且f?x?在[?1,0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
（1）求c的值；
（2）在函数f?x?的图象上是否存在一点M（x0，y0），使得f?x?在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由； （3）求AC的取值范围． 10．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝
12
ax＋bx，a≠0. 2 （Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
11．设函数f?x??xsinx?x?R?
（Ⅰ）证明f?x?2k???f?x??2k?sinx其中为k为整数
x04（Ⅱ）设x0为f?x?的一个极值点，证明??f?x0????1?x2
02（Ⅲ）设f?x?在（0,+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1,a2,?,an,?，证明：
?2?an?1?an???n?1,2,??
习题参考答案
1.(D) 2.(D) 3.(D) 4.(A) 5.(A) 6.(D) 7． （Ⅰ）解：m?f(x0)?x0f?(x0).
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（Ⅱ）证明：令h(x)?g(x)?f(x),则h?(x)?f?(x0)?f?(x),h?(x0)?0.
因为f?(x)递减，所以h?(x)递增，因此，当x?x0时,h?(x)?0；当x?x0时,h?(x)?0.所以x0是h(x)唯一的极值点，且是极小值点，可h(x)的最小值为0，因此h(x)?0,即
g(x)?f(x).
（Ⅲ）解法一：0?b?1，a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
x2?11?ax?b,即x2?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b)2.
3另一方面，由于f(x)?x3满足前述题设中关于函数y?f(x)的条件，利用（II）的
222233结果可知，ax?b?x3的充要条件是：过点（0，b）与曲线y?x3相切的直线的斜率
22大于a，该切线的方程为y?(2b)2?12x?b.
133于是ax?b?x的充要条件是a?(2b)2.
223 综上，不等式x?1?ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
22(2b)?12?a?2(1?b). ①
?1212 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式(2b)
有解、解不等式②得
?2(1?b). ②
122?22?2?b?. ③ 44因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系
（Ⅲ）解法二：0?b?1,a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x2?1?ax?b,即x2?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b).
212
2 令
33?(x)?ax?b?x3，于是ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
22
?(x)?0. 由??(x)?a?x?13?0得x?a?3.
?3?3当0?x?a时??(x)?0;当x?a时，所以，当x?a时，??(x)?0，
?3?(x)取最小值.因此?(x)?0成立的充要条件是?(a)?0，即a?(2b).
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?3?12
综上，不等式x2?1?ax?b?3x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
22
(2b)?12?a?2(1?b). ①
?1212显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式(2b)有解、解不等式②得
?2(1?b) ②
122?22?2?b?. 44因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.
8． 解：(Ⅰ)由f(x)?x3?bx2?cx?d的图象过点P（0，2）,d=2知,所以
f(x)?x3?bx2?cx?2,f?(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知
-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, f?(-1)=6,∴?故所求的解析式为f(x)=x-3x-3+2,
(Ⅱ) f?(x)=3x-6x-3,令3x-6x-3=0即x-2x-1=0,解得x1=1-2,x2=1+2, 2
2
2
3
?3?2b?c?6,?b?c?0,即?解得b=c=-3.
??1?b?c?2?1,?2b?c??3,当x<1-2或x>1+2时, f?(x)>0;当1-2 9． 解：⑴ ∵f?x?在??1,0?和?0,2?上有相反单调性， ∴ x=0是f?x?的一个极值点，故f'?x??0， 即3ax2?2bx?c?0有一个解为x=0，∴c=0 ⑵ ∵f?x?交x轴于点B（2，0） ∴8a?4b?d?0,即d??4?b?2a? 令f'?x??0，则3ax2?2bx?0,x1?0,x2??3 2 2,+∞)内是增函数,在(-∞, 1-2)内是增函数,在 ∵f?x?在?0,2?和?4,5?上有相反的单调性 2bb ∴2???4， ∴?6???3 3aa 假设存在点M（x0，y0），使得f?x?在点M的切线斜率为3b，则f'?x0??3b 2 即 3ax0?2bx0?3b?0 2b 3a?b?2 ∵ △=?2b??4?3a???3b??4b2?36ab?4ab??9? ?a?b 又?6???3， ∴△＜0 a ∴不存在点M（x0，y0），使得f?x?在点M的切线斜率为3b． ⑶ 依题意可令 用心 爱心 专心 - 20 -