1x?11例6．（1）x?(0,??)求证
x?1?lnx?x （2）n?N n?2 求证 111112?3???n?lnn?1?2???n?1
（1）证：令1?1x?t x?0 ∴ t?1 x?1t?1
原不等式?1?1t?lnt?t?1 令 f(t)?t?1?lnt ∴ f?(t)?1?1t
t?(1,??) f?(t)?0 ∴ t?(1,??) f(t)? ∴ f(t)?f(1)?0
∴ t?1?lnt 令 g(t)?lnt?1?1 ∴ g?(t)?1t?1t?t?1t2t2 t?(1,??) g?(t)?0 ∴t?(1,??) g(t)?
∴ g(t)?g(1)?0 ∴ lnt?1?1 ∴ 1x?11tx?1?lnx?x （2）令x?1,2?n?1 上式也成立
将各式相加
12?13???1n?ln21?ln3n112???lgn?1?1?2???n?1即 12?13???1n?lnn?1?12???1n?1
例7． 已知a?0,n为正整数.
（Ⅰ）设y?(x?a)n,证明y??n(x?a)n?1；
（Ⅱ）设f?n(x)?xn?(x?a)n,对任意n?a,证明fn?1(n?1)?(n?1)f?n(n). n证明：（Ⅰ）因为(x?a)n??Ckn(?a)n?kxk，
k?0n所以ny???kCk(?n?kk?1na)x?k?0?nCk?1n?kn?1(?a)xk?1?n(x?a)n?1. k?0（Ⅱ）对函数fnn(x)?x?(x?a)n求导数:
f?n(x)?nxn?1?n(x?a)n?1,所以f?n(n)?n[nn?1?(n?a)n?1].当x?a?0时,f?
n(x)?0.?当x?a时,fnn(x)?xn?(x?a)是关于x的增函数.因此,当n?a时,(n?1)n?(n?1?a)n?nn?(n?a)n∴f?n?1(n?1)?(n?1)[(n?1)n?(n?1?a)n]?(n?1)(nn?(n?a)n)
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?(n?1)(nn?n(n?a)n?1)?(n?1)fn(n).
即对任意n?a,fn?1(n?1)?(n?1)fn(n).
???情景再现 4 设f(x)在点x0处可导，a为常数，则lim?x?0/
/
f(x0?a?x)?f(x0?a?x) 等于( )
?x/
A.f(x0) B.2af(x0) C.af(x0) D.0
5．求证下列不等式
x2x2（1）x? x?(0,??) ?ln(1?x)?x?22(1?x)（2）sinx?2x? x?(0,?2)
（3）x?sinx?tanx?x x?(0,6 已知a?0，函数f(x)??2)
1?ax2,x?(0,??),设0?x1?，记曲线y?f(x)在点xaM(x1,f(x1))处的切线为l。
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）设l与x轴的交点为(x2,0)，证明：①0?x2?111②若x1?，则x1?x2? aaaC类例题 例8 设函数f(x)=ax-2bx+cx+4d(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值-3
2
2。 3(1)求a、b、c、d的值；
(2)当x∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；
(3)若x1,x2∈[-1,1]时，求证：|f(x1)-f(x2)|≤
4。 3解(1) ∵函数f(x)图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f(-x)=- f(x).
32322
∴-ax-2bx-cx+4d=-ax+2bx-cx-4d，即bx-2d=0恒成立.
32
∴b=0,d=0,即f(x)=ax+cx. ∴f′(x)=3ax+c.
22. ∴f′(1)=0且f(1)=- , 3321即3a+c=0且a+c=-. 解得a=,c=-1.
33∵x=1时,f(x)取极小值-(2)证明：当x∈[-1,1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在
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两点A(x1,y1)、B(x2+y2)，使得过这两点的切线互相垂直，
222
则由f′(x)=x-1，知两点处的切线斜率分别为k1=x1-1,k2=x2-1,
22
且(x1-1)(x2-1)=-1. (*)
22
∵x1、x2∈[-1,1], ∴x1-1≤0，x2-1≤0
22
∴(x1-1)(x2-1)≥0，这与(*)相矛盾，故假设不成立.
2
(3)证明：∵f′(x)=x-1,由f′(x)=0,得x=±1.
当x∈(-∞，-1)或（1，+∞）时，f′(x)＞0; 当 x∈(-1，1)时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[-1,1]上是减函数，且fmax(x)=f(-1)= ∴在[-1,1]上，|f(x)|≤
22, fmin(x)=f(1)= -. 332. 3于是x1,x2∈[-1,1]时，|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤故x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤
224+=. 3334. 3说明 ①若x0点是y=f(x)的极值点，则f′(x0)=0,反之不一定成立；
②在讨论存在性问题时常用反证法；
③利用导数得到y=f(x)在[-1,1]上递减是解第(3)问的关键. 例9 已知平面向量a=(3,-1).b=(
??13,). 22??(1)证明a⊥b；
(2)若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t-3) b，y=-ka+tb，x⊥y，试求
2
??????????函数关系式k=f(t)；
(3)据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况. 分析 通过向量的运算转化为函数问题
????13解(1)∵a?b=3×+(-1)×=0 ∴a⊥b.
22??????????2
(2)∵x⊥y，∴x?y=0 即[a+(t-3) b]·(-ka+tb)=0.
???2?222
整理后得-ka+[t-k(t-3)] a?b+ (t-3)·b=0 ???2?2∵a?b=0，a=4，b=1，
∴上式化为-4k+t(t-3)=0，即k=(3)讨论方程
2
12
t(t-3) 41122
t(t-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t-3)与直线y=k 44123(t-1)= t(t+1)(t-1). 44用心 爱心 专心
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的交点个数. 于是f′(t)=
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表： t (-∞,-1) + ↗ -1 0 极大值 (-1,1) - ↘ 1 0 极小值 (1,+ ∞) + ↗ f′(t) F(t) 1. 21当t=-1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=-.
212
函数f(t)=t(t-3)的图象如图13－2－1所示，
4当t=-1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=可观察出：
11或k＜-时,方程f(t)-k=0有且只有一解； 2211(2)当k=或k=-时,方程f(t)-k=0有两解；
2211(3) 当-＜k＜时,方程f(t)-k=0有三解.
22(1)当k＞
说明 导数的应用为函数的作图提供了新途径。
例10 已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx. (1)求函数f(x)的最大值；
a?b)＜(b-a)ln2. 21解：(1)函数f(x)的定义域为(-1，+∞)，f′(x)=-1.
1?x(2)设0＜a＜b,证明：0＜g(a)+g(b)-2g(
令f′(x)=0，解得x=0.
当-1＜x＜0时，f′(x)＞0; 当x＞0时， f′(x)＜0.
又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值,最大值为0. （2）证法一：g(a)+g(b)-2g(=alna+blnb-(a+b)ln=aln
a?b) 2a?b 22a2b?bln a?ba?b由（1）结论知ln(1+x)-x<0(x>-1，且x≠0)
b?aa?b?0,?1??0 2a2b2ab?ab?a2ba?ba?b?ln(1?)????ln(1?)??因此ln，ln， a?b2a2aa?b2b2b2a2bb?aa?b?aln?bln????0.
a?ba?b222aa?b?又， a?b2b2a2ba?b2b2b?aln?bln?aln?bln?(b?a)ln?(b?a)ln2.
a?ba?b2ba?ba?b由题设0
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综上 0?g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2. 2证法二：g(x)?xlnx,g?(x)?lnx?1. 设F(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x)，则 2a?xa?xF?(x)?g?(x)?2[g()]??lnx?ln.
22当0 ?F(a)?0,b?a, ?F(b)?0 即0?g(a)?g(b)?2g(设G(x)?F(x)?(x?a)ln2，则G?(x)?lnx?lna?b). 2a?x?ln2?lnx?ln(a?x) 2当x>0时，G?(x)?0，因此G(x)在(0,+?)上为减函数。 ?G(a)?0,b?a,?G(b)?0, 即g(a)?g(b)?2g( 链接 a?b)?(b?a)ln2，综上，原不等式得证。 2x3?sinx?x 1．证明：当x>0时，有x?62．已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任 2意的n∈N*，都有4Sn=(an+1) (1)求数列{an}的通项公式； n(2)若2≥tSn对于任意的n∈N*成立，求实数t的最大值。 n2分析：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)易得an=2n-1，从而Sn=n则问（2）转化为t≤n恒成 22n2立，故只需求出数列bn?n的最小项，有以下求法： 2法一：研究数列{bn}的单调性。 2n2x法二：数列作为一类特殊的函数，欲求{2}的最小项可先研究连续函数y?2(x?0)nx用心 爱心 专心 - 10 -