第3章 静力学平衡问题
3－1 图示两种正方形结构所受荷载F均已知。试求其中1，2，3各杆受力。
解：图（a）：2F3cos
F3?22F45??F?0
（拉）
F1 = F3（拉） F2?2F3cos45??0 F2 = F（受压） 图（b）：F3?F3??0 F1 = 0
F2 = F（受拉） F
F33 45A
1
F1 (a-1)
?
习题3－1图
FF3DAF3F3DF2F1F2F3?(a-2)
3－2 图示为一绳索拔桩装置。绳索的E、C两点拴在架子上，点B与拴在桩A上的绳索AB连接，在点D加一铅垂向下的力F，AB可视为铅垂，DB可视为水平。已知?= 0.1rad.，力F = 800N。试求绳AB中产生的拔桩力（当?很小时，tan?≈?）。
(b-1)
(b-2)
F3?
FED?DFCBFDB?FDB?B习题3－2图
F(a)
(b) FAB解：?Fy
?Fx?0?0，FEDsin??Fcos??FDB
FED?FFsin?
，FED
FDB?tan??10F由图（a）计算结果，可推出图（b）中：FAB = 10FDB = 100F = 80 kN。
3－3 起重机由固定塔AC与活动桁架BC组成，绞车D和E分别控制桁架BC和重物W的运动。桁架BC用铰链连接于点C，并由钢索AB维持其平衡。重物W = 40kN悬挂在链索上，链索绕过点B的滑轮，并沿直线BC引向绞盘。长度AC = BC，不计桁架重量和滑轮摩擦。试用角?=∠ACB的函数来表示钢索AB的张力FAB以及桁架上沿直线BC的压力FBC。
y?2
FAB??FBCxW习题3－3图
W(a)
— 1 —
解：图（a）：?Fx 即
?0，FABcos?2?Wsin??0，FAB?2Wsin?2
?Fy?0，FBC?W?Wcos??FABsinFBC?W?Wcos??2Wsin2?2?0
?2?W?Wcos??W(1?cos?)?2W
3－4 杆AB及其两端滚子的整体重心在G点，滚子搁置在倾斜的光滑刚性平面上，如图所示。对于给定的?角，试求平衡时的?角。
解：AB为三力汇交平衡，如图（a）所示ΔAOG中： AO?lsin?， ?AOG?90??? ?OAG?90??? ，?AGO????
l由正弦定理：即 即
lsin?sin(???)?3sin(90???)，
lsin?sin(???)?13cos?)
3sin?cos??sin?cos??cos?sin?2tan??tan?
习题3－4图
O
??arctan(tan?)
21注：在学完本书第3章后，可用下法求解： ?Fx?0，FRA?Gsin??0
?Fy?0，FRB?Gcos??0?MAAl3?（1） （2） （3）
FRA?G2l3
B(F)?0，?Gl3sin(???)?FRBlsin??0G解（1）、（2）、（3）联立，得
1??arctan(tan?)2?(a) FRB
3–5 起重架可借绕过滑轮A的绳索将重力的大小G=20kN的物体吊起，滑轮A用不计自重的杆AB和AC支承，不计滑轮的自重和轴承处的摩擦。求系统平衡时杆AB、AC所受力（忽略滑轮的尺寸）。
解：以A为研究对象，受力如图（a） 所示，其中：FT = G。
?FAB?0，FAB?FTcos30??Gsin30??0
FT FAB FAC A G FAB?G(cos30??sin30?)?7.32kN ?FAC?0，FAC?Gcos30??FTsin30??0
FAB?G(cos30??sin30?)?27.32kN
习题3-5图
（a）
3–6图示液压夹紧机构中，D为固定铰链，B、C、E为铰链。已知力F，机构平衡时角度如图所示，求此时工件H所受的压紧力。
习题3-6图
（a） FNB F B FBC
FCB FCD C FCE （b）
x FH （c） FEC
FNH
— 2 —
解：以铰B为研究对象，受力如图（a）。
?Fy?0，FBCsin??F?0；FBC?Fsin? （1）
以铰C为研究对象，受力如图（b）。
?Fx?0，FCB?FCEsin2??0；FCE?FCBsin2? （2）
以铰E为研究对象，受力如图（c）。
?Fy?0，FH?FECcos??0；FH?FECcos? （3）
由于FBC?FCB；FEC?FCE，联立式（1）、（2）、（3）解得：FH?
F2sin?2
3–7三个半拱相互铰接，其尺寸、支承和受力情况如图所示。设各拱自重均不计，试计算支座B的约束力。
习题3-7图
FD′
FD FCx FCy
FAy （a）
（b）
FAx
FB 解：先分析半拱BED，B、E、D三处的约束力应汇交于点E，所以铰D处的约束力为水平方向，取CDO为研究对象，受力如图（a）所示。
?MC(F)?0，FDa?Fa?0；FD?F
以AEBD为研究对象，受力如图（b）。
??0；FB?2F ?MA(F)?0，3aFB?3aF?3aFD
3－8 折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为M的力偶作用在折杆AB上。试求支承处的约束力。
习题3—8图
FBFB BD
M
AFA
DBMBFBM45?FBFDAMFBDFDAA FA(a)
(b)
FA (c)
FA
(d)
— 3 —
解：图（a）：FA?FB?M2lMl
图（b）：FAMlMl?FB? 由图（c）改画成图（d），则 ∴
3－9 齿轮箱两个外伸轴上作用的力偶如图所示。为保持齿轮箱平衡，试求螺栓A、B处所提供的约束力的铅垂分力。
FA?FBD?FB?FBD?
2MlFD?2FBD?
习题3－9图
FAy
?0.5?0
解：ΣMi = 0，?500?125?FAy(a)
FBy
FAy = 750N（↓）， FBy = 750N（↑）
（本题中FAx ，FBx等值反向，对力偶系合成结果无贡献。）
3－10 试求图示结构中杆1、2、3所受的力。
解：杆3为二力杆
图（a）： ΣMi = 0
F3?d?M?0
习题3－10图
F1d
F3?Md
F = F3（压）
图（b）： ΣFx = 0 F2 = 0 ΣFy = 0
F1?F?MdF2M31d2AA（拉）
FF3
(a)
FA
(b)
3–11图示空间构架由三根不计自重的有杆组成，在D端用球铰链连接，A、B和C端则用球铰链固定在水平地板上，若拴在D端的重物P = 10 kN，试求铰链A、B、C的反力。
解：
习题3-11图
（a） FC
FA
FB
— 4 —
取铰D为研究对象，受力如图（a）。
?F?F?Fx?0，FBcos45??FAcos45??0；FB?FA （1） ，?FCcos15??2FAsin45?cos30??0 （2）
y?0z?0，?FCsin15??2FAsin45?sin30??P?0 （3）
联立式（1）、（2）、（3）解得：FB?FA??26.39kN，FC?33.46kN
3–12 图示空间构架由三根不计自重的有杆组成，在O端用球铰链连接，A、B和C端则用球铰链固定在水平地板上，若拴在O端的重物P=10kN，试求铰链A、B、C的反力。
解：
z
FC
x
FB
FA
y
习题3-12图 （a）
取铰O为研究对象，受力如图（a）。
?F?F
x?0，FBcos45??FCcos45??0；FB?FC
2P??14.14kN
z?0，?FAcos45??P?0；FA???0?Fy，?FAsin45??2FBsin45??0；FB?FC?7.07kN
3–13 梁AB用三根杆支承，如图所示。已知F1=30kN，F2 = 40kN，M=30kN·m, q = 20N/m，试求三杆的约束力。
解：
FA FC （c）
FB
（d） FC
FD FB O （1）图（a）中梁的受力如图（c）所示。
?Fx?0B，?FCcos60??F1cos60??0；FC?F1?30kN
?M
(F)?0，8FA?8F1sin60??M?4F2?3FCsin60??1.5?3q?0；FA??63.22kN
— 5 —