《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院
§8.2 换元积分法与分部积分法
教学目标：掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．
基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学建议：
(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题． (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法． 教学过程：
一、第一类换元法 ——凑微分法：
有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分?，如果凑上一个常数因子2，使成为 11cos2xdx?cosx?2xdx?cos2xd?2x????22
cos2xdx令2x?u则上述右端积分
111cos2xd2x?cosudu?sinu?C??2?2?2
然后再代回原来的积分变量x，就求得原不定积分
?cos2xdx?更一般的，若函数并且复合运算
F????x???1sin2x?C2
F?x?是函数
f?x?的一个原函数，
????x?是可微函数，
有意义，根据复合函数求导法则
?F??x?F????x?????x??f???x?????x???????????? 及不定积分的定义，有
由于 ?从
1
f???x?????x?dx?F??????x????C ?
f?u?du?F?u??C
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而 （1）
f???x?????x?dx???f?u?du????
u???x?
综上所述，可得如下结论 定理8.4：（第一换元积分法） 设
f?u?是连续函数，
F?u?是
f?u?的一个原函数。又若
u???x?f???x???有意义，则 连续可微，并且复合运算?u???x????x??????x?dx???f?u?du??f??F????x????C （
2）
第一换元积分公式（2）说明如果一个不定积分?g?x?dx的被积表达式
g?x?dx能够写成
f????x??????x?dx的形式，可通过变量代换u???x?把被积表达式等同于f?u?du，若不定积分
?f?u?du?F?u??C
u???x?代入
，便求出原不定积分
容易求得，那么再将
F?u????x????C ?g?x?dx?F?由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式
g?x?dx变为
f????x??????x?dx?f????x???d??x?的形式。也就是把被积函数g?x?分解成两个因子的乘积，其
中一个因子与dx凑成某一函数的微分变形后被积表达式
??x?的微分，而另一因子是
??x?f???x???，且经过这样的函数?f????x???d??x?变为容易积分的形式，所以人们也经常称第一换元积
分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练习，不断总结经验，才能运用自如。
凑微分法1： f(ax?b)dx?dx?1d?ax?b?a1311f(ax?b)d(ax?b)?f(u)du. aa例１、利用
?a,b?R,a?0?，求下列积分
?1??33x?4dx???3x?4?1d?3x?4?3，令u?3x?4有
?344111331333x?4dx??udu??u?C?u?C3344
再将u?3x?4代入，有
2
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?2313x?4dx??423x??443?C
?2??dxa?x??dxxa1?()2a??xd()ax1?()2a1?a?0?
令
u?xa，有
?再将
x?dxa?x22??du1?u2?arcsinu?C
xa代入，
有
?dxa2?x2?arcsinx?Ca
xd()dxdx1a???3??22??xxa?xa2[(1?()2)]a1?()2aa 令
u?xa
dx1du1??arctanu?C222??a?xa1?ua
再将
u?xa代入，有
dx1?arctanx?C22?a a?x
如果运算比较熟练，为了简化解题步骤，变量代换就可以了。
凑微分法2、 xk?1f(xk)dx? f(x2)xdx?例２、利用
u???x?可以不写出来，只需默记在头脑中
11f(xk)d(xk)?f(u)du . 特别地, 有 kk11f(x)f(x2)d(x2)?f(u)du 和 dx?2f22x?x?dx.
x?dx?求下列积分
1d?ax??1?b?a???1??a,b,??R,a?0,???1?，
3
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?1???5x2?7?xdx???5x2?7?15x2?7??d??10
5x??21d?5x2?7??5?2 1127??5x?102?2212?7?C?5X?7??C＝20
11111?2??2exdx??ex??1?d()??ex?Cxx
?3???4??dxdxdx?2??2?1?xx?1?x?1?xdxx2??2?2arctanx?C
1?x2?x?0?
解：（4）
?xdx21?x2???1?1?d?????x1?x2?x?11?1?1??2??x?d1?x
1??2??1?2?1d??????222?2???x??111?????????1???1????d?1????1????2???x???x?????x??? 122?1????C??1????C?x??? 121??1????2?1???2???x????x?d??x???x??fxdx??d?x?f?x???,????x???x?，有如下公式??x?利用
例３、若被积函数
????x?d??x?f?x?dx???dx?????ln??x??C??x???x?
求下列积分
dxdlnx???lnlnx?Cxlnxlnx
sinxdcosxdx?????lncosx?C?2??tanxdx??cosxcosx cosxdsinxdx???lnsinx?C?3??cotxdx??sinxsinx
以上３例都是直接利用“凑微分法”求不定积分。如果进一步把“凑微分法”与不定积分
?1??的运算性质结合起来，就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分。
例４、将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分
4
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?1??dx1?11?????dx?22?a?x2a?a?xa?x?
d?x?a??11?d?x?a?x?a??ln?C?????2a?x?ax?a?2ax?adxx2
?2???1?e???1?ex?ex?1?e?x2d?1?ex?dxdx?????2xx1?e?1?e?
d?1?ex?1?ex?ex11dx??dx???xxx?1?ex??1?e1?e1?e
xx?ln?eC?1?1??1e2?
sin2x111??3dx?1?dx?dx?dx?????222???11?sinxsinx1??1?sinx?sin2x＝
cotxdcotx12x???x???cotx?1?cotx?2?cot2x2x?arctan1??????C222??＝??
d凑微分法3： f(sinx)cosxdx?f(sinx)dsinx?f(u)du; f(cosx)sinxdx??f(cosx)dcosx??f(u)du; f(tgx)sec2xdx?f(tgx)dtgx?f(u)du.
例５、对于
nsin?xdx与
ncos?xdx?n?N?
来降低三角函数的幂，当n是奇数时，变正（余）弦函数的积分为余（正）弦函数的积分。
sin2x?1?1?cos2x?2形式的积分，当n是偶数时，可利用三角恒等式 1cos2x??1?cos2x?2
1?1?21sinxdx?1?cos2xdx?1?2cos2x?cos2x?dx??????????4?2?＝
421?1?dx?2cos2xdx?1?cos4xdx????????42? ?1?x1?x?sin2x??sin4x???C428? ?＝ 1?31x?sinx?2?48 ?2
?s?ix?n4C?
5