《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院
?20???21???22???23??dxa2?x222?arcsinx?Cax2a2x2a?xdx?a?x?arcsin?C22adxlnx?x2?a2?Cx2?a2x2a2222x?adx?x?a?lnx?x2?a2?C22
综上所述，我们已经对求不定积分的基本方法进行了全面的讨论。由不定积分的定义知，求不定积分的运算是微分法的逆运算。而第一、第二换元积分法对应与复合函数求导的链式法则，分部积分法则是基于乘积函数的求导法则推导出来的。求不定积分的基本思想是：采用各种方法将被积函数化为基本积分表中的被积函数的形式或它们的线性组合。然后利用基本积分表和线性性质求出不定积分。显然，掌握较多的不定积分公式会给求不定积分带来方便，为此人们把一些常用的不定积分公式汇集起来，做成基本积分表。同学们可以利用这个表进行运算。但是无论容量多么大的积分表也不能把所有的不定积分都罗列出来。所以，上面介绍的求不定积分的各种方法都是最基本的，作为初学者必须掌握。另外，把不定积分法与微分法相比较，求积分要比求微分困难的多，复杂的多，甚至于有些被积函数很简单，但他们的不定积分却无法积出。例如：
?e?x2sinxdx?xdx
dx?lnx2sinx??dx?，等等
这说明在初等函数类中，不定积分的运算是不封闭的，即初等函数的原函数不一定是初等函数。今后把被积函数的原函数能用初等函数表示的积分称为积得出的，否则，称为积不出的。
结论：当n是正整数时，如?xnexdx，?xnsinxdx，?xncosxdx，这种类型的积分，都可用分部积法解决，这时，设u?xn，dv分别为exdx，sinxdx，cosxdx；同样?xnlnxdx，
nnnxarctanxdxxarcsinxdxdv?xdx，，，这种类型的积分，也可用分部积分法解决，这时，设??u分别为lnx，arctanx，arcsinx。 ?ekxsin(ax?b)dx，?ekxcos(ax?b)dx （a，b ，k为常数）这种类型的积分如例15那样，也可以用分部积分法来解决。
习题：P189 2（1）～（9）
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