《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院
例21、计算
?dxa2?x2（a?0）x2?a2?asect?asect,
解：令
x?atant,???2?t?2,则x?atant存在反函数。且
x2?a2?asect?asect,dx?asec2tdt，从而
?dx1a2?x2=?asect?asect2dt??sectdt?lnsect?tant?C?
由图2.3知
x2?a2sect=a
tant?xa 2lnx?a2a?xa?C??lnx?x2?a2?C所以
?dxa2?x2=
这里C?C??lna。
总结例2.19～2.21，有如下规律：
（1）若被积函数含有a2?x2，一般令x?asint或x?acost （2）若被积函数含有x2?a2，一般令x?asect或x?acsct （3）若被积函数含有x2?a2，一般令x?atant或??x?acott
2、无理代换
若被积函数是n1x , n2x , ? , nkx的有理式时, 设n为ni(1?i?k)的最小公倍数, 作代换t?nx, 有x?tn, dx?ntn?1dt. 可化被积函数为 t 的有理函数.
例22、计算
?x1?2xdx
解：为了去掉被积函数的根式，令t?1?2x，即作变量代换x?12?t2?1?,t?0
则dx?tdt，从而
15?x1?2xdx2=?2?t?1?t?tdt?12??t4dt??t2dt?1??t?t3???C=2?53?
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1 =10?531?2x?2?16?1?2x?2?C
例23、?dx?????t?6xx?3x26?t2dt1?t??6?(1?t)dt?6?dt1?t??? ??6??6?x?132x?ln1?6x????c.
若被积函数中只有一种根式nax?b或nax?bcx?e,可试作代换t?nax?b或 t?n.ax?bcx?e. 从中解出x来. 2 例24、 ?x3x2?1dx?12t?x?112?xx2?1 d(x2)??????2?(t2?1)t?2tdt?
??(t4?t2)dt?t55?t3533?c?115(x2?1)2?3(x2?1)2?c.
本题还可用割换计算, 但较繁.
3、双曲代换
利用双曲函数恒等式 ch2x?sh2x?1, 令 x?asht, 可去掉
型如 a2?x2的根式. dx?achtdt. 化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 如: ch2t?12(ch2t?1), sh2t?12(ch2t?1), sh2t?2shtcht. sh?1x?ln(x?x2?1). （参阅复旦大学 (陈传璋等)编, 数学分析, 上册P24.）
例25、 ?a2?x2dx?????x?asht?acht?achtdt?a2?ch2tdt?
?a2a2a22?(ch2t?1)dt?4sh2t?2t?c?? ?xa22a2?x2?2ln(x?a2?x2)?c.
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本题可用切换计算,但归结为积分?sec3tdt, 该积分计算较繁. 参阅后面习题课例3. 例26、 ?dx. 现用曲换计算 ).
2?x2. (可用切换计算过该题解： I??????x?2sht?2chtx22chtdt??dt?t?c?? ln??x???22?1????c? ? ? ln(x?x2?2)?c. c?c??ln2. 例27、 ?dxx2?a2. (曾用割换计算过该题. 现用曲换计算 ).
解 I????x?acht?ashtasht?dt?t?c??ln xx2dt?a ? a2?1 ?c?? ? ln |x?x2?a2|?c. c?c??ln|a|.
4、倒代换
当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可试用
倒代换x?11t, dx??t2dt.
例28、 ?dx1d(x2)u?x21duu?1t?0xx4?x2?2?x2x4?x2????2?uu2?u?????
?1 1t2dt2?111??12?dt111?t??(1?t)2?c????1?1?2x2?1x2??c??|x|?c. tt2???t
5、万能代换
万能代换常用于三角函数有理式的积分(参[1]P261). 令t?tgx2， 2tgx 就有 sinx?2sinxx22cos2??2tsec2x1?t2， 2 cosx?1?t21?t2, tgx?2t1?t2 ，
dx?2dt1?t2, x?2arctgt.
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例29、 ?dx1?cosx.
t?tgx2解法一： ( 用万能代换 ) I?????2?1?t21?t2dt?x1??dt?t?c?tg2?c. 1?t2解法二： ( 用初等化简 ) I?12?dx?cos2x?sec2x2d(xx2)?tg2?c. 2解法三： ( 用初等化简, 并凑微 )
I??1?cosx1?cos2xdx??csc2xdx??dsinxsin2x? ??ctgx?1sinx?c?cscx?ctgx?c?tgx2?c. 例30、 ?d?1?sin??cos?. t?tgx解： I?????2?1?21?2t1?t21?t2dt??dtt?1?ln|t?1|?c= 1?t2?1?t2 ?ln|tgx2?1|?c. 代换法是一种很灵活的方法.
习题：[1]P189 1(25)(27)(28)～(30)
三、分部积分法
设u(x)与v(x)均为x的连续可微函数。于是，由函数乘积的求导公式，有 [u(x)v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x) 或 u(x)v?(x)?[u(x)v(x)]??u?(x)v(x) 再由不定积分的定义及线性性质，有 ?u(x)v?(x)dx??{[u(x)v(x)]??u?(x)v(x)}dx?
?[u(x)v(x)]?dx??u?(x)v(x)dx?u(x)v(x)??u?(x)v(x)dx
即 ?u(x)v?(x)dx?u(x)v(x)??u?(x)v(x)dx
（5）
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或 （6）
?u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x)
公式（5）或公式（6）称为不定积分的分部积分公式。一般地说，利用分部积分公式求不定积分就是追求被积函数形式的转变，把比较难求甚至无法求出的不定积分?u?(x)v(x)dx?容易求的不定积分，起到化繁为简的作用。
u(x)v?(x)dx转变成
对于给定的不定积分?f(x)dx作分部积分运算，通常要把被积函数f(x)分解为两个因子的
乘积，这会有多种选择，对两个因子中哪一个选作u(x)也会有多种选择。选择不同，效果不一样的。例如，在积分?xsinxdx中，若选择u(x)?sinx，v?(x)?x，则
?x2?x2x2??sinx??cosxdx?xsinxdx??sinxd?22??2 并没有达到简化积分计算的目的。若选择u(x)?x，v?(x)?sinx，则 ?xsinxdx??xd??cosx??x??cosx?????cosx?dx??xcosx??cosxdx??xcosx?sinx?C
由此可见，u(x)与积分技巧。
v?x?的选择对于初学者来讲，只有认真总结规律，才能熟练地运用分部
nx一般来说，在使用分部积分法求不定积分时，若被积函数是幂函数与指数函数或三角函
nnu(x)?x数的乘积时，应选择；若被积函数是幂函数x与对数函数或反三角函数的乘积时，应n?v(x)?x选择。
1、 幂 ? X 型函数的积分
分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一
因子用其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂?X” 型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“X”求导以使其成为代数函数.
例31、计算下列不定积分 （1）
2x2x2xxxedx?xde?xe?e????2xdx?
x2ex?2?xdx?x2ex?2(xex??exdx)?
x2 e(x?2x?2)?C
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