《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院
?2??cos3xdx???1?sin2x?cosxdx?
132cosxdx?sinxdsinx?sinx?sinx?C??3
例６、 对于?sin?xsin?xdx,?cos?xsin?xdx和?cos?xcos?xdx形式的积分，可利用三角函
数的积化和差公式
?1??cosxcos2xdx?12???cos?1?2?x?cos?1?2x???dx ?1?????sin?x?2?sin?1x??12
?1?2?2?12??C?
?2??cos2xsin3xdx?12???sin?2?3?x?sin?3?2?x??dx＝
12??sin5xdx??sinxdx??1?1?5??cosx?5cos5x???C
例７、根据
sixn?2x2sinxx2x2?cos22tancosx1?coxs 2 ta2n?sixn?xc?scx
cot?1??cscxdx??12tanxxdx??1xd???tanx?2???2cos22tan2
lntxa?nClxn?csxc?Ccot
2?
d???x????2??secxdx???2??lncsc??x?????cot??x????Csin???x????2??2??2??＝lnsecx?tanx?C例８、
?arcsinxx?1?x?dx?2?arcsinx1?xdx?2?arcsinx1??x?2dx ＝
2?arcsinxdarcsinx??arcsinx?2?C
凑微分法4： f(ex)exdx?f(ex)dex?f(u)du..
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《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院
例9、 ?dt. 2?e?tdx?f(lnx)dlnx?f(u)du. x凑微分法5 ： f(lnx)例10、 ?dx.
x(1?2lnx)凑微分法6：
f(arcsinx)1?x2dx?f(arcsinx)darcsinx?f(u)du;
f(arctgx)dx?f(arctgx)darctgx?f(u)du. 21?x例11、 ?arctgxt?xarctgxarctgtdx?2?dx?????2?dt? 21?x1?tx(1?x) ?2?arctgtdarctgt?(arctgt)2?c?(arctgx)2?c. 其他凑法举例:
ex?e?xd(ex?e?x)x?xdx??ln(e?e)?c. 例12、 ?x?xx?x?e?ee?e例13、 ?lnx?1d(xlnx)dx??(xlnx)2?? (xlnx)2secx(secx?tgx)sec2x?secxtgx例14 ?secxdx??dx??dx?
secx?tgxsecx?tgx ??例15、 ?5例16、 ?d(secx?tgx)?ln|secx?tgx|?c.
secx?tgxdx.
cosx?sinxsinx?cosxcosx?5sinxdx.
sinx?cosx1??1dx???1?2x2?1x???? xdx?例17、 ?4dx????1?21x?12x?2?x???2xx??例18、 ?
以上例子大都采用了初等数学（代数或三角函数）中的运算技巧将被积函数进行适当的变
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x?5dx. 2x?2x?2《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院
形，然后再进行变量带换。因此在作积分运算时，应该重视有关初等数学知识的灵活运用。
习题：P188—189 1（1）～(24)； 二、第二类换元法
从积分?cos2tdt 出发，从两个方向用凑微法计算，即
2x?sint ?1?xdx?????1?sin2tdsint = ?cos2tdt =
在式（１）中，如果
111(1?cos2t)dt?t?sin2t?c, 2?24??x?连续可微且???x?定号，式?2.1?中左端的不定积分
???x??????x?dx?F?x??C ?f?容易求得，并且
x???1?uu???的反函数x?是?，则式（2）右端的不定积分
???uf?1d?u??F??????xC。利用这个过程求不定积分的方法，称为第二换元积分法。
第二换元积分法可以确切的叙述如下。 定理8.5（第二换元积分法）:设复合运算即
f?x?是连续函数，
??x?是连续可微函数，且
???x?定号，
f????t???有意义。设F?t?是f????t??????t?的一个原函数，
???t??????t?dt?F?t??C ?f?则 其中
f?x?dx???f????t??????t?dt??
t???1?x?=
?1F????x????C （3）
??1?x?是??t?的反函数证明：有定理假设
。
定号，，故函数
???x???t?存在反函数
??1?u?，又
dF?t??f???t?????t???dt
?dF?t?dt?d?1?F??x??????dx?dtdx??t???1?x?于是
?1????f?t?t?????????t????????t???1?x?
f?????t????=
t???1?x??f?x?
可见
?1F????x???是式（3）左端不定积分的被积函数的一个原函数，所以式（3）成立。
第二换元积分法指出，求式（3）左端不定积分，作变量代换
f?x??f????t???,dx???t?dt，于是
x???t?，从而
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???t??????t?dt ?f?x?dx??f?若上式右端的不定积
分 ?f????t??????t?dt?F?t??C （4）
容易求出，那么再代回原来的变量
t???1?x?，便求出原不定积分
??1f?x?dx?F????x????C
由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理8.5条件的变换积分容易求出。那么如何选择变换
x???t?，从而使式（4）的不定
x???t?呢？这往往与被积函数的形式有关。例如，若被积来去掉根式，从而使被积函数得到简化，不定积
函数中有根式，一般选择适当的变换分容易求出。
x???t?常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler代换等.
以下我们着重介绍三角代换和无理代换. 1、三角代换
（1）正弦代换：正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令x?asint, (a?0), 则 a2?x2?acost, dx?acostdt, t?arcsin例19、计算?a2?x2dxx. aa2?x2(a?0)的根式施
?a?0?
?x,则t?arcsin,?a?x?a2a，且
解：令
x?asint,??2?t?a2?x2?acost?acost,dx?acostdt,从而
2
?a2a2?x2dx?acost.acostdt?a?costdt?2=
2??1?cos2t?dt
a2?1a2a2??t?sin2t??C?t?sintcost?C22? =2?2
由图2.1知
xsint?a
a2?x2cost?a
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所以?a2xa2xa2?x2?Ca2?x2dx2arcsina?2?aa==
a2xx2arcsin?a?x2?C2a2
（2）正割代换：正割代换简称为“割换”. 是针对型如 x2?a2 (a?0)的根式施 行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式sec2t?1?tg2t, 令x?asect, 有x2?a2?atgt, dx?xsect?tgtdt. 变量还愿时, 常用辅助三角形法.
例20、计算
?dxx?a22?a?0?
解“令
0?t?x?asect,当0?t??2或?2?t??时，x?asect存在反函数
t?arcsinxa。这里仅讨论
??2的情况，同法可讨论20?t??t??的情况。
?由于
?22x?a?atant?atant,dx?atantsectdt20 ??1atant?sectdt?atant?sectdt?lnsect?tant?C ?dxa2?x2由图2.2知， xsect?atant?x2?a2a，所以 ?xx2?a2?ln??C?22aaa?xdx ?lnx?x2?a2?C这里C?C??lna （3）正切代换： 正切代换简称为“切换”. 是针对型如a2?x2(a?0)的根式施行 的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式sec2t?tg2t?1,即1?tg2t?sec2t, 令 x?atgt, dx?asec2tdt. 此时有 a2?x2?asect, t?arctg谓辅助三角形法. x. 变量还原时, 常用所a 10