《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院
2?xsinxdx??x（2）
111?1?cos2x?dx??xdx??xcos2xdx?222
121111?1?1x??xd?sin2x??x2?xsin2x??sin2xdx?42422?2?4
12x1x?sin2x?cos2x?C48 4
lnx11?1?dx?lnxd???lnx?dlnx????x2??xx?x?（3）
1dx1?lnx??2??(lnx?1)?Cxx x
（4）?arcsinxdx?xarcsinx??xdarcsinx?
121d?1?x?xarcsinx??xdx?xarcsinx???2221?x1?x
1122xarcsinx??2(1?x)?C?xarcsinx?1?x2?C2
23(1?6x)arctanxdx?arctanxd(x?2x)???（5）
3x?2x3?x?2x?arctanx??1?x2dx?
x2x??x?2x?arctanx????1?x?3?dx?2??
132x?2xarctanx?x?ln?1?x2??C??2
2、建立所求积分的方程求积分
分部积分追求的另一个目标是: 对被积函数两因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来.
例32、 ?exsinxdx.
16
《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院
( a?0 ). 例33、 求I1??eaxcosbxdx 和I2??eaxsinbxdx, ?I?1eaxcosbx?bI2,I1?bsinbx?acosbxax解： ??12e?c,?aa 解得 a?b2???I2?1basinbx?bcosbx
axaeaxsinbx?aI1.I2?a2?b2e?c.例34、 ?a2?x2dx, ( a?0 ). 解： I?xa2?x2??x?xa2?x2dx=
2 ?xa2?x2??a2?x2a2?x2dx??aa2?x2dx=
?xa2?x2?I?a2ln(x?a2?x2)?c1, （参阅例41）
解得 I?x2a2?x2?a22ln(x?a2?x2)?c. 例35、 ?cos2xdx??cosxdsinx?cosxsinx??sin2xdx= ?cosxsinx?x??cos2xdx， 解得 ?cos2xdx?x12?4sin2x?c. 例36、 ?sec3xdx??secx?sec2xdx??secxdtgx?secxtgx??tgxsecxtgxdx =secxtgx??(sec2x?1)secxdx?secxtgx??sec3xdx??secxdx? =secxtgx?ln|secx?tgx|??sec3xdx, 解得 ?sec3xdx?12secxtgx?12ln|secx?tgx|?c. 分部积分法也常用来产生循环现象，然后经过代数运算求出不定积分。 例37、计算下列不定积分 （1） ?x2?a2dx。
设
I??x2?a2dx，则
I??x2?a2dx?xx2?a2??xdx2?a2?
2?a2??xxdx?x22?2xx22a?x2?a2x?a???x?a??x2?a2?dx?
17
《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院
?xx2?a2?I?a2dx ?x2?a2
再由例21，有?x2?a2dx2=lnx?x?a2?C?
故原积分 I?x2x2?a2?a22lnx?x2?a2?C
这里
C?C?2
?x（2）计算
?esin?xdx和
?e?xcos?xdx
?xsin?xd?解：?esin?xdx=??1??e?x??1?=??e?xsin?x??e?x??cos?xdx?
?1?e?xsin?x???1???cos?xd???ex??? ?1?e?xsin?x???2??e?xcos?x??e?x????sin?x?dx??
1e?x=?sin?x??x?2?x??2ecos?x??2?esin?xdx
移项，整理，有
e?x?sin?x?? ?e?xsin?xdx=?2??2?cos?x??C
?e?xx?sin同理可得 ?ecos?xdx=?2??2??x??cos?x??C
在含有自然数n的不定积分中，常用分部积分法来建立求不定积分的递推公式。
?1?In例38、
n???lnx?dx(n?N）
I???lnx?ndx?x?lnx?n??xd?lnx?n解：
n?
x?lnx?n??x?n?lnx?n?11n?1
xdx?x?lnx?n?n??lnx?dx
=x?lnx?n?nIn?1
n即
In?x?lnx??nIn?1
这就是递推公式。例如n?3时有
18
《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院
??lnx?3dx?x?lnx?3?3Ix?lnx?3?3?22??x?lnx??2I1??=
x?lnx?3?3x?lnx?2?6??1??xlnx??x?xdx??? x?lnx?3?3x?lnx?2?6xlnx?6x?C
dx?2???x2?a2?n （n?N，a?0)
?dx解：设 In??x2?a2?n ，则
????In?x?x2?a2?n??xd?1??x2x?dx??x2?a2?n??=?x2?a2?n??x???n??x2?a2?n?1??x?2??2?2n??1?n?an?1?dx?x?2nIn?2na2In?1=
x?a2?n??x2?a2??x2?a2????x2?a2?n
从
??I?1n?12na2?x?而 ??x2?a2?n??2n?1?In??? （7） 特别当n?1时，有
I1??dxx2?a2?1aarctanxa?C
于是利用递推公式（2.7），有
I2?1?2a2?x?x2?a2?I?1?x1???2a2??x2?a2?1aarctanxa?C???=
1x12a2x2?a2+2a3arctanxa+C?
C这里C?=2a3
分部积分法与换元积分法有时在同一题中配合使用效果更佳。
19
《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院
arcsinx1?x2?x21?x2dx例39、计算
arcsinx1?x2arcsinxarcsinxdxdx??x21?x2dx?x21?x2?x2解：==
?arcsinxd?arcsinx???ucosudu?作变量代换x?sinu?2
sinucosu12?arcsinx?2??udcotu?122?arcsinx??ucotu??cotudu= 12?arcsinx?2?ucotu?lnsinu?C
由图8.2.4知
cotu?1?x2x
arcsinx1?x2所以?x21?x2dx?12?arcsinx?2 1?x2?xarcsinx?lnx?C
通过本节的讨论，我们还应在基本积分表中再补充如下公式：
基本积分表（补充）
?15??secxdx?lnsecx?tanx?C?16??cscxdx?lncscx?cotx?C?17??tanxdx??lncosx?C?18??cotxdx?lnsinx?C?19??1a2?x2dx?1xaarctana?C
=
20