????1????（Ⅱ）若PN?NC，求平面AMN与平面PAB的所成锐二面角的大小
2解：（Ⅰ）因为四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，
则CD⊥侧面PAD ?CD?AM. 又PA?AD?2,?AM?PD.
又PD?CD?D,?AM?平面PCD.……………5分
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz,又PA=AD=2，
则有P（0，0，2），D（0，2，0）
M(0,1,1),C(2,2,0).
?????PC?(2,2,?2).
????1????设N(x,y,z),?PN?NC,则有
212x?0?(2?x),?x?.
23同理可得y?233224即得N(,,).…………………………8分
333????????448由PC?AN????0,?PC?AN.
333?????平面AMN的法向量为PC?(2,2,?2).
,z?4.
而平面PAB的法向量可为AD?(0,2,0),
????????????????PC?AD?cos?PC,AD???????????PC?AD412?4?33.
故所求平面AMN与PAB所成锐二面角的大小为arccos33.
35、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体AC1中，
点E是平面BCC1B1上动点，点F是CD的中点. （Ⅰ）试确定E的位置，使D1E⊥平面AB1F； （Ⅱ）求二面角B1—AF—B的大小. 解：（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， A（0，0，0），F（1，2，0），B1（2，0，3），D1（0，2，3）， 设E（2，y，z），则 D1E?(2,y?2,z?3) AF?(1,2,0),AB1?(2,0,3) ????4分
由
?y?1?DE?AF?02?2(y?2)?0??1?D1E?平面AB1F??,即???54?3(z?3)?0z?????DE?AB1?03?
∴E(2,1,) 为所求 ????6分
35（Ⅱ）当D1E⊥平面AB1F时，D1E=（2，－1，?43),BB1?(0,0,?3) ??8分
又B1B 与D1E分别是平面BEF与平面B1EF的法向量， ????9分 则二面角B1—AF—B的平面角等于?B1B,D1E?. ????10分
?3(?43)43?)2∵cos?B1B,D1E??246161. ????11分
32?1?(?∴B1—AF—B的平面角为arccos46161.
36、(广东省2008届六校第二次联考)如图所示, 四棱锥P?ABCD底面是直角梯形,
BA?AD,CD?AD,CD?2A,BP?A底面ABCD, E为PC的中点, PA
＝AD＝AB＝1.
（1）证明: EB//平面PAD; （2）证明: BE?平面PDC; （3）求三棱锥B?PDC的体积V.
证明:（1）取PD中点Q, 连EQ , AQ , 则QE?12CD?AB ?1分
QE//CD??CD//AB??QE//AB ????????????????2分 QE?AB???四边形ABEQ是平行四边形?BE//AQ ??????3分 BE//AQ??AQ?平面PAD??BE//平面PAD ?????????5分 BE?平面PAD??PA?平面ABCD? D ? ? PA?? CCD?平面ABCD???CD?AD??CD?平面PAD??AQ?CD? ? ?
AQ?平面PAD?AD?PA＝A??
?PA＝AD?? ?AQ?PD??Q为PD的中点? ? CD?PD＝D????(2)
?AQ?平面PCD???BE?平面PCD. ???????????????10分
BE//AQ?解:（3）S?BDC＝12AD?DC＝1312?1?2＝1 ?????????????11分 13VB?PDC＝VP?BDC＝PA?S?BDC＝.
37、（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）如图，在组合体中，
ABCD?A1B1C1D1是一个长方体，P?ABCD是一个四棱锥．AB?2，BC?3，
PDCB点P?平面CC1D1D且PD?PC?2．
A（Ⅰ）证明：PD?平面PBC；
（Ⅱ）求PA与平面ABCD所成的角的正切值； （Ⅲ）若AA1?a，当a为何值时，PC//平面AB1D． (Ⅰ)证明：因为PD?PC?A1D1B1C12，CD?AB?2，所以?PCD为等腰直角三角形，所以
PD?PC． ……1分
因为ABCD?A1B1C1D1是一个长方体，所以BC?面CC1D1D，而P?平面CC1D1D，所以PD?面CC1D1D，所以BC?PD． ……3分
因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得
PD?平面PBC．…4分
(Ⅱ)解：过P点在平面CC1D1D作PE?CD于E，连接AE．……5分 因为面ABCD?面PCD，所以PE?面ABCD，所以?PAE就是PA与平面ABCD所成的角．……6分
因
为
PEAEPAPE?1，AE?10，所以
tan?PAE??110?1010． ……7分
ABC所
所以
1010与平面成的角的正切值为
． ……8分
(Ⅲ)解：当a?2时，PC//平面AB1D． ……9分 当a?2时，四边形CC1D1D是一个正方形，所以?C1DC?450，而?PDC?450，所以?PDC1?900，所以C1D?PD． ……10分
而PC?PD，C1D与PC在同一个平面内，所以PC//C1D． ……11分 而
C1D?面AB1C1D，所以
PC//面AB1C1D，所以
z PPC//平面AB1D． ……12分
方法二：(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系，设棱长AA1?a，则有D(0,0,a)，
P(0,1,a?1)，B(3,2,a)，C(0,2,a)． ??
ADBC2分
于是PD?(0,?1,?1)，PB?(3,1,?1)，PC?(0,1,?1)，所以PD?PB?0，
????????PD?PC?0．??3分
????????????D1C1B1y ????????A1x 所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得
PD?平面PBC． ??4分
(Ⅱ)A(3,0,a)，所以PA?(3,?1,?1)，而平面ABCD的一个法向量为n1?(0,0,1)．?5分
???????所以cos?PD,n1???111?11111?????????． ??6分
1111所以PA与平面ABCD所成的角的正弦值为所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为
． ??7分 ． ??8分
1010(Ⅲ)B1?(3,2,0)，所以DA?(3,0,0)，AB1?(0,2,?a)．设平面AB1D的法向量为
?DA?n?3x?02?n2?(x,y,z)，则有?，令z?2，可得平面AB1D的一个法向量为
?AB1?n2?2y?az?0?n2?(0,a,2)． ??10分
若要使得PC//平面AB1D，则要PC?n2，即PC?n2?a?2?0，解得a?2．?11分 所以当a?2时，PC//平面AB1D．
38、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)如图，P—ABCD是正四棱锥，
ABCD?1是正方体， ABCD1116
其中AB?2,PA?（1）求证：PA?B1D1；
（2）求平面PAD与平面BDD1B1所成的锐二面角?的余弦值； （3）求B1到平面PAD的距离
解法一：以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系????1分 （1）设E是BD的中点，?P—ABCD是正四棱锥，∴PE?ABCD????2分
又AB?2,PA?6， ∴PE?2 ∴P(1,1,4) ???????????3分
?????????∴ B1D1?(?2,2,0),AP?(1,1,2)??????????????????4分 ?????????∴ B1D1?AP?0 即PA?B1D1???????????????5分
??（2）设平面PAD的法向量是m?(x,y,z)，????????????????6分
?????????AD?(0,2,0),AP?(1,1,2)????????????????????7分
∴ y?0,x?2z?0 取z?1得m?(?2,0,1)，????????????8分
?又平面BDD1B1的法向量是n?(1,1,0)????????????????9分
????????m?n∴ cos?m,n???????mn105 ∴cos??105???????10分
????（3）?B1A?(?2,0,2) ?????????????????????????11分
??????B1A?m6∴B1到平面PAD的距离d????5m5??????????????14分
解法二：
（1）设AC与BD交点为O，连PO；∵P—ABCD是正四棱锥，∴PO⊥面ABCD，??1分
∴AO为PA在平面ABCD上的射影， 又ABCD为正方形，∴AO⊥BD，????3分 由三垂线定理知PA⊥BD，而BD∥B1D1；∴PA?B1D1??????????5分 （2）由题意知平面PAD与平面BDD1B1所成的锐二面角为二面角A-PD-B；??6分