又|DB|=22，故△DBF是等腰三角形，要证明它为锐角三角形，只需证明其顶角∠DFB为锐角则可。 (11分)
DF?BF?DB2DF?BF222 由余弦定理得cos∠DFB=
?2(z?4)?(22)2(z?4)22222?2z222(z?4)>0
∴∠DFB为锐角, (13分)
即不论点F为CC1上C点除外的任意一点, △DFB总是锐角三角形.(14分)
说明: 若没有说明三角形为等腰三角形而只证明一个角是锐角,或只证明底角是锐角的“以偏概全”情况应扣2分）
42、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)如图，在三棱拄ABC?A1B1C1中，AB?侧面BB1C1C，已知BC?1,?BCC1?（Ⅰ）求证：C1B?平面ABC；
（Ⅱ）试在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置,
AA1?3
使得EA?EB1；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下,求二面角A?EB1?A1的平面角的正
B切值.
证（Ⅰ）因为AB?侧面BB1C1C，故AB?BC1 在?BC1C中，BC?1,CC1?BB1?2,?BCC1?由余弦定理有 BC1?BC?CC1?2?BC?CC1?cos?BCC1????2B1CEC1?3
221?4?2?2?cos?3?A3 A122 故有 BC?B1C?C1C???????1?C?BBC ?? 而 BC?AB B且AB,BC?平面ABC
BB1 ?C1B?平面AB C（Ⅱ）由
EA?EB1,AB?EB1,AB?AE?A,AB,AE?平面ABE
CEC1从而B1E?平面ABE 且BE?平面ABE 故BE?B1E
不妨设 CE?x，则C1E?2?x，则BE2?1?x2?x 又??B1C1C?2322? 则B1E?1?x?x
在Rt?BEB1中有 x2?x?1?x2?x?1?4 从而x??1（舍负） 故E为CC1的中点时，EA?EB1 法二：以BB(0,为原点
?????????????BC,BC1,BA为
x,y,z?轴，设CEx则，
10E,?0),x1?(B12????????),A( 1 , 由3EA,?0EB)1得, E(A0?E,1B0, 即2 )?012)(x?232,?3x23??3x???2??,0)0A(121x?1,?32x,z
1(x?1)(x?223?2?)x?2?? 0A1 化简整理得 x2?3x?2?0 x?1 或 x?2 当x?2时E与C1重合不满足题意
CByB1EC1 当x?1时E为CC1的中点 故E为CC1的中点使EA?EB1
x （Ⅲ）取EB1的中点D，A1E的中点F，BB1的中点N，AB1的中点M 连DF则DF//A1B1，连DN则DN//BE，连MN则MN//A1B1 连MF则MF//BE，且MNDF为矩形，MD//AE
又?A1B1?EB1,BE?EB1 故?MDF为所求二面角的平面角
1222AA1M在Rt?DFM中，DF?MF?12BE?12CE?12A1B1?(??BCE为正三角形）
BFNB11?tan?MDF?2?2
222DCEC1?????????????????法二：由已知EA?EB1,B1A1?EB1， 所以二面角A?EB1?A1的平面角?的大小为向量
?????????B1A1与EA的夹角
?????????????因为B1A1?BA?(0,0,2) EA?(??????????EA?B1A1故 cos????????????EA?B1A12332,?1222,2)
?tan?? D43、(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)如图所示的几何体ABCDE中，DA?平面EAB，CB∥DA，
EA?DA?AB?2CB，
CEA?AB，M是EC的中点．
MAB（Ⅰ）求证：DM?EB；
（Ⅱ）求二面角M?BD?A的余弦值． 解： 建立如图所示的空间直角坐标系， 并设EA?DA?AB?2CB?2，则
（Ⅰ）DM??1,1,???????????E??????????3?，EB?(?2,2,0)， ?2?所以DM?EB?0，从而得
DM?EB；
（Ⅱ）设n1?(x,y,z)是平面BDM的
???????????????法向量，则由n1?DM，n1?DB及
?????????????3?DM??1,1,??，DB?(0,2,?2)
2????????3???????n1?DM?x?y?z?02?得?可以取n1?(1,2,2)．
????????n?DB?2y?2z?0?1
???显然，n2?(1,0,0)为平面ABD的法向量．
设二面角M?BD?A的平面角为?，则此二面角的余弦值
????????????|n1?n2|1?????． cos??|cos?n1,n2?|???|n1|?|n2|344、(广东省四校联合体第一次联考)如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点. （1）求证：AB1//面BDC1；
（2）求二面角C1—BD—C的余弦值； （3）在侧棱AA1上是否存在点P，使得
CP⊥面BDC1？并证明你的结论.
（1）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点， ∵D为AC中点 ∴OD∥B1A
又B1A?平面BDC1，OD?平面BDC1 ∴B1A∥平面BDC1
（2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1 ∴CC1⊥面ABC
则BC⊥平面AC1，CC1⊥AC
如图建系 则C1(3,0,0) B(0,0,2) D(0,1,0) C(0,0,0) ∴C1D?(?3,1,0)C1B?(?3,0,2)
设平面C1DB的法向量为n?(x,y,z) 则n?(2,?6,3)
又平面BDC的法向量为CC1?(3,0,0) ∴二面角C1—BD—C的余弦值：cos?C1C,n??C1C?n|C1C||n|?27
（Ⅲ）设P(h,2,0) 则CP?(h,2,0)
若CP⊥面BDC1 则CP//n 即（h,2,0）=λ(2,-6,3) 此时λ不存在
∴在侧棱AA1上不存在点P，使得CP⊥面BDC1
45、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =
?2AD，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，
EFEF∥BC，AE = x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如图) .
(1) 当x=2时，求证：BD⊥EG ；
(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值； (3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值. A解:（1）（法一）∵平面AEFD?平面EBCF,AE⊥EF,∴AE⊥面平面EBCF,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。????????????????? 1分 则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）????2分
BBCDEFGCAz DAD
FE
CEFy
BB
x GC????????BD?（－2，2，2），EG?（2，2，
0）???????????????????3分 ????????BD?EG ???????????4分 BD?EG?（－2，2，2）?（2，2，0）＝0，∴（法二）作DH⊥EF于H，连BH，GH，?????1分 由平面AEFD?平面EBCF知：DH⊥平面EBCF，
而EG?平面EBCF，故EG⊥DH。 又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，
BH?DH＝H，故EG⊥平面DBH，??????? 3分 而BD?平面DBH，∴ EG⊥BD。??????? 4分 （或者直接利用三垂线定理得出结果） （2）∵AD∥面BFC，
所以 f(x)?VA-BFC＝
??23(x?2)?2ADEH FBGC13s?BFC?AE＝??4?(4-x)?x
11
32
83?83???????????????????????????7分
83即x?2时f(x)有最大值为。??????????????????????8分
??（3）（法一）设平面DBF的法向量为n1?(x,y,z)，∵AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），
????????F（0，3，0）,∴BF?(?2,3,0),BD?（－2，2，
2）, ????????????9分
????????n1?BD?0则 ??????， ???n1?BF?0A
_ ED H M
F
即??(x,y,z)?(?2,2,2)?0?(x,y,z)?(?2,3,0)?0，???2x?2y?2z?0??2x?3y?0
B G
C
??取x＝3，则y＝2，z＝1，∴n1?(3,2,1)
??? 面BCF的一个法向量为n2?(0,0,1) ???????????12分 ??????????n?n214??则cos
14|n1||n2|