由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－14分
（法二）作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，连DM。
1414 ?????
由三垂线定理知 BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。??????????9分 由△HMF∽△EBF，知
又DH＝2，
∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-DHHM＝13，
HMBE＝HFBF，而HF=1，BE=2，BF＝BE＋EF＝13，∴HM＝22213。
因∠DMH为锐角，∴cos∠DMH＝1414， ????????????13分
而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角， 故二面角D-BF-C的余弦值为－1414。 ????????????14分
46、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)如图，在Rt△AOB中，?OAB?π6，
斜边AB?4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B?AO?C是直二面角．动点D在斜边AB上。 （I）求证：平面COD?平面AOB；
（II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所 成角的大小；
（III）（理）求CD与平面AOB所成角的最大值。
（文）当D为AB的中点时，求CD与平面AOB所成的角。
CO?AO，BO?AO，??BOC是二面角B?AO?C解：（I）由题意，
是直二面角，
?又?二面角B?AO?AO?BO?，O
C是直二面角，?CO?BO，又
?CO?平面AOB，又CO?平面COD，?平面COD?平面AOB．……4分
（II）解法一：作DE?OB，垂足为E，连结CE（如图），则DE∥AO，
??CDE是异面直线AO与CD所成的角．
在Rt△COE中，CO?BO?2，OE?12BO?1，?CE?CO?OE22?5．
又DE?12AO?3．?在Rt△CDE中，tanCDE?CEDE?53?153．
?异面直线AO与CD所成角的大小为arctan153．……8分
解法二：建立空间直角坐标系O?xyz，如图，则O(0，0，23)，C(2，0，0)，A(0，0，0)，
????????????????????????OA?CDCD?????D(0，1，3)，?OA?(0，0，23)，CD?(?2，1，3)，?cos?OA，?????
OA?CD?623?22?64．?异面直线AO与CD所成角的大小为arccos64．……8分
（III）（理）由（I）知，CO?平面AOB，??CDO是CD与平面AOB所成的角， 且tanCDO?OA?OBABOCOD??2OD．当OD最小时，?CDO最大，这时，OD?AB，垂足为D，
233OD?3，tanCDO?，?CD与平面AOB所成角的最大值为
arctan233．……12分
（文）由（I）知，CO?平面AOB，??CDO是CD与平面AOB所成的角，且??CDO＝45o。……12分
47、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)如图，在几何体P?ABCD中，面ABCD为矩形，PA?面ABCD，AB?PA?2
（1）求证；当AD?2时，平面PBD⊥平面PAC； （2）当2?AD?5时，求二面角B?PD?C的取值范围。
以A为坐标原点，射线AP、AB、AD分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的坐标系。设AD?a，由已知得A(0,0,0),P(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,a),D(0,0,a)
（1）当AD?2时，C(0,2,2),D(0,0,2)，
????????????∴BD?(0,?2,2),PA?(?2,0,0),CA?(0,?2,?2)
4分
????????????????∴BD?PA?0,BD?CA?0，∴BD?PA,BD?CA
又PA?CA?A，∴平面PBD⊥平面PAC； 6分
解法二：当AD?2时，矩形ABCD为正方形，∴BD?AC ∵PA?面ABCD，∴BD?PA
2分
又PA?CA?A，∴BD⊥平面PAC，BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC （2）由P(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,a),D(0,0,a)
????????????得PD?(?2,0,a),PB?(?2,2,0),DC?(0,2,0)
????????????(x1,y1,z1)?(?2,0,a)?0?n1?PD?0??设n1?(x1,y1,z1),n1?平面PDC，∴???????
(x,y,z)?(0,2,0)?0?111??n1?DC?02x1?????2x1?az1?0?z1?∴???a 不妨设x1?a，则n1?(a,0,2)
y?0?1?y?0?1???????????????(x2,y2,z2)?(?2,0,a)?0?n2?PD?0?设n2?(x2,y2,z2),n2?平面PDB，∴??? ???????(x2,y2,z2)?(?2,2,0)?0??n2?PB?02x2??????2x2?az2?0?z2?∴???a 不妨设x2?a，则n2?(a,a,2) 10分
?2x?2y?0?22?y?x?22??????????n?n2(a,0,2)?(a,a,2)???∴cos?n1,n2????1??22|n1|?|n2|a?4?2a?4a?42a?422?12(1?2a?22)
当2?AD?5变化时，即2?a?5，2?a2?5
?????cos?n1,n2??12(1?2a?22)?[31414,32]
???????????314又?n1,n2??[0,?]，∴?n1,n2??[,arccos]
61448、(河北省正定中学高2008届一模)在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=4a，PB=PE=4BC=DE=2a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．（1）若G为PE中点，求证：AG（2）求二面角A-PD-E的正弦值；（3）求点C到平面PDE的距离.
?2a，
平面PDE.
解（1）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。?PA?AE，
G为PE中点，所以AG⊥PE，DE∩PE＝E，∴AG⊥平面
PDE ………………………（4分） （2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．
∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．
过A作AG⊥PE于G，过DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．过G作GH⊥PD于H，连AH， 由三垂线定理得AH⊥PD．∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角． 在直角△PAE中，AG＝22a．在直角△PAD中，AH＝∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝∴二面角A-PD-E的正弦值为AGAH453a
＝31010．
31010． …………………………………………..( 8分)
（3）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°, BC=DE=2a,AB=AE=4a,
取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形． ∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE?平面PDE，CF?平面PDE， ∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离． ∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．
又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．
∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．∴FG的长即F点到平面PDE的距离．在△PAE中，PA=AE=4a，F为AE中点，FG⊥PE，
∴FG=2a． ∴点C到平面PDE的距离为2a．（或用等体积法求）…………（12分）
49、矩形ABCD与矩形ABEF的公共边为AB，且平面ABCD?平面ABEF，如图所示，
FD?2， AD=1， EF=3． （Ⅰ）证明：AE ?平面FCB；
FE A D M C B （Ⅱ）求异面直线BD与AE所成角的余弦值 （Ⅲ）若M是棱AB的中点，在线段FD上是
否存在一点N，使得MN∥平面FCB？ 证明你的结论．
解：(1) ?平面ABCD?平面ABEF,
且四边形ABCD与ABEF是矩形, ?AD?平面ABEF,?AD?AE,
?BC∥AD ?BC?AE
又FD=2,AD=1,所以AF=EF=3, 所以四边形ABEF为正方形.?AE?FB,
又BF?BC?B，BF?平面BCF，BC?平面BCF 所以AE?平面BCF……………………………………………4分
(2)设BF?AE=O,取FD的中点为H,连接OH,在?FDB中 OH//BD,
??HOF即为异面直线BD与AE所成的角(或补角),
在?FOH中,OH=1,FH=1,FO=
62,?cos?HOF=
64
?异面直线BD与AE所成的角的余弦值为
64………………………….8分
(3)当N为FD的中点时, MN∥平面FCB
证明：取CD的中点G,连结NG，MG，MN， 则NG//FC,MG//BC,
又NG?平面NGM，MG?平面NGM且NG?MG=G 所以平面NGM//平面FBC,
?MN?平面NGM
?MN//平面FBC……………………………………………………………12分
50、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
?BAC?900,AC?AB?AA1,E是BC的中点。
(1)求异面直线AE与A1C所成的角；
(2)若G为C1C上一点，且EG⊥A1C，试确定点G的位置；
(3)在（2）的条件下，求二面角A1-AG-E的大小（文科求其正切值）。 解：（1）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角。设AC?AB?AA1?2a，则A1E1?2a,A1C?22a,
E1C1?12B1C1?2a.?E1C?E21C1?C1C2?6a.
2?8a2?6a2?在?A1E1C中， cos?E1A1C?2a2?2a?22a?12。
所以异面直线AE与A1C所成的角为
?3。 ------------------4分
（2）.由（1）知，A1E1⊥B1C1,又因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱
?A1E1⊥BCC1B1,又?EG⊥A1C ? CE1⊥EG.
?∠ECC11.=∠GEC ??E1CC1~?GEC
?CGCE?C1E1C1C即
CG2a?2a2a得CG?a
所以G是CC1的中点 ---------------------------- --8分
（3）连结AG,设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q,连EP,EQ,则EP⊥AC.
又?平面ABC⊥平面ACC1A1 ?EP⊥平面ACC1A1
而PQ⊥AG ? EQ⊥AG.?∠PQE是二面角C-AG-E的平面角.
aPE由EP=a,AP=a,PQ=,得tan?PQE??5
PQ5所以二面角C-AG-E的平面角是arctan5，而所求二面角A1?AG?E是二面角C-AG-E的补角，故二面角A1?AG?E的平面角是π－arctan5 ------------------------12分
（文）二面角A1?AG?E的平面角的正切值为－5。------------------------12分