∵AO⊥面PBD，过O作OE垂直PD于E，连AE，
则由三垂线定理知∠AEO为二面角A-PD-B的平面角； ????????8分 可以计算得，cos??105??????????????????????10分
（3）设B1C1与BC的中点分别为M、N；则B1到平面PAD的距离为M到平面PAD的距离；
由VM-PAD=VP-ADM求得d?655。
39、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)在三棱锥S?ABC中，
S?SAB??SAC??ACB?90,AC?1,BC??3,SB?22.
(1) 求三棱锥S?ABC的体积； (2) 证明:BC?SC;
(3) 求异面直线SB和AC所成角的余弦值。 (1)解：∵?SAB??SAC??ACB?90? ∴SA?AB,SA?AC,且AB?AC?A,
∴SA?平面ABC------------ ----------------2分 在Rt?ACB中， AB?Rt?SAB中，SA?2BCABC?AC222?2,
SSB?AB?128?4?2
32BC∵S?ABC?1213AC?BC??1?3?,
A∴VS?ABC?S?ABC?SA?13?32?2?33.--------------4分
(2)证法1：由（1）知SA=2, 在Rt?SAC中，SC?SA?AC22?4?1?5---6分
222∵BC?SC?3?5?8?SB,∴BC?SC-------------------8分
证法2：由（1）知SA?平面ABC，∵BC?面ABC，
∴BC?SA,∵BC?AC,AC?AS?A,∴BC?面SAC 又∵SC?面SAC，∴BC?SC
(3) 解法1：分别取AB、SA、 BC的中点D、E、F，
连结ED、DF、EF、AF，则DE//BS,DF//AC,
∴?EDF（或其邻补角）就是异面直线SB和AC所成的角----------10分 ∵DE?12SB?2,DF?12AC?12,
S在Rt?ACF中，FC?12BC?32,
E∴AF?AC?FC22?1?34?722B,
FDAC在Rt?EAF中，EF?EA?AF2?1?742?1122
14114??2 142在△DEF中，由余弦定理得cos?EDF?DE?DF?EF2DE?DF22??2??2?∴异面直线SB和AC所成的角的余弦值为24-------------------------14分
解法2：以点A为坐标原点，AC所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如图
则可得点A(0,0,0),C(0,1,0),B(?3,1,0)
????????∴BS?(3,?1,2),AC?(0,1,0)
zS(0,0,2)设异面直线SB和AC所成的角为?
????????BS?AC12??????|?则cos????? |?4|BS|?|AC|8(-3,1,0)ByC(0,1,0)xA(0,0,0)∴异面直线SB和AC所成的角的余弦值为24。
40、(广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟)如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有
棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°。 （Ⅰ）证明：BD⊥AA1；
（Ⅱ）求二面角D—A1A—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。
解：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，
连接A1O
在△AA1O中，AA1=2，AO=1， ∠A1AO=60°
∴A1O=AA1+AO－2AA1·Aocos60°=3 ∴AO+A1O=A1
∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥ 平面ABCD，
所以A1O⊥底面ABCD
∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（3，0，0），C（0，1，0），D（－3，0，0），A1（0，0，3）
????????2分
（Ⅰ）由于BD?(?23,0,0) AA1?(0,1,3)
2
2
2
222
则AA1?BD?0?(?23)?1?0?∴BD⊥AA1????????4分 （Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C ∴平面AA1C1C的法向量n1?(1,0,0)
3?0?0
设n2⊥平面AA1D
??n2?AA1设n2?(x,y,z) 则???n2?AD??y?3z?0取n2?(1,3,?1)????????6分 得到????3x?y?0?cos?n1,n2??n1?n2|n1|?|n2|?55
所以二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是
55????????8分
（Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP//平面DA1C1 设CP??CC1,P(x,y,z) 则(x,y?1,z)??(0,1,3)
得P(0,1??,3?)BP?(?3,1??,3?)????????9分 设n3?平面DA1C1
??n3?A1C1则?设n3?(x3,y3,z3) ??n3?DA1??2y3?0得到?不妨取n3?(1,0,?1)????????10分
??3x3?3z3?0又因为BP//平面DA1C1 则n3·BP?0即?3?3??0得???1
即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP????????12分 法二：在A1作A1O⊥AC于点O，由于平面AA1C1C⊥平面 ABCD，由面面垂直的性质定理知，A1O⊥平面ABCD， 又底面为菱形，所以AC⊥BD
由于BD?AC?BD?平面AA1O??BD?A1O????AA1?BDAA1?平面AA1O?A1O?AC?0?? ????????4分
（Ⅱ）在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60° ∴AO=AA1·cos60°=1
所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以 O也是BD中点
由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C
过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则AA1⊥DE 则∠DEO为二面角D—AA1—C的平面角
????????6分 在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60° ∴AC=AB=BC=2 ∴AO=1，DO=
AB2?AO2?3
32
在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=
DE=OE2?OD2?3455?3?152
∴cos∠DEO=
OEDE?
∴二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是（Ⅲ）存在这样的点P
55????????8分
连接B1C，因为A1B1//AB//DC
∴四边形A1B1CD为平行四边形。 ∴A1D//B1C
在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP????????10分 因B1B//CC1，????????12分 ∴BB1//CP
∴四边形BB1CP为平行四边形 则BP//B1C ∴BP//A1D ∴BP//平面DA1C1
41、(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1
中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，
（1）求证：A1C⊥平面BDE；
（2）求A1B与平面BDE所成角的正弦值。
（3）设F是CC1上的动点(不包括端点C)，求证：△DBF是锐角三角形。 （1）证明：由正四棱柱性质知A1B1⊥平面BCC1B1，A1A⊥平面ABCD，
所以B1C、AC分别是A1C在平面CC1B1B、平面ABCD上的射影 ∵ B1C⊥BE, AC⊥BD, ∴A1C⊥BE , A1C⊥BD， （2分）
∴ A1C⊥平面BDE (4分)。 （直接指出根据三垂线定理得“A1C⊥BE , A1C⊥BD”而推出结论的不扣分)
（2）解：以DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立坐标系，则A1(2,0,4)，C(0,2,0)，
B(2,2,0)，∴A1C?(?2,2,?4)，A1B?(0,2,?4) (6分)
????????1?∴cos?A1C,A1B?????????????????????AC?A1B?????A1C?A1B30 (7分) 6设A1C?平面BDE＝K，
由(1)可知，∠A1BK为A1B与平面BDE所成角，(8分)
????????∴sin?A1BK?cos?A1C,A1B??30 (9分) 6(3)证明：设点F的坐标为（0, 2, z）(0 22