数学二历年考研试题
?0C.???*?2B3A*?? 0?
?0D.???*?3B2A*?? 0??100???TT（8）设A，P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP=010，若
???002???TP=（?1，?2，?3），Q=（?1+?2，?2，?3），则QAQ为（ ）
?210??110?A?.??? ?002????200??010?C?.??? ?002???
?110??120?B?.??? ?002????100??020?D?.??? ?002???
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
1-t?u2?x=edu??0（9）曲线?在处的切线方程为 （0，0）?y?t2ln(2?t2)?（10）已知
+?kx???edx?1,则k?
1?x（11）lim?esinnxdx?
n??0d2y（12）设y?y(x)是由方程xy?e?x?1确定的隐函数，则
dx2yx=0= （13）函数
1?上的最小值为 y?x2x在区间?0，?200???TTT(14)设?，?为3维列向量，?为?的转置，若矩阵??相似于000，则??= ???000???
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算
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数学二历年考研试题 步骤.
（15）（本题满分9分）求极限limx?0?1?cosx??x?ln(1?tanx)?
sin4x
（16）（本题满分10 分）计算不定积分
?ln(1?1?x)dx (x?0) x?2z f具有2阶连续偏导数，求dz与
?x?y（17）（本题满分10分）设z（18）（本题满分10分） 设非负函数
?f?x?y,x?y,xy?，其中
y?y?x???x?0?满足微分方程xy???y??2?0，当曲线y?y?x??过原点时，其与直线
x?1及y?0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
（19）（本题满分10分）求二重积分
2???x?y?dxdy，
D其中D???x,y??x?1???y?1?2?2,y?x?
（20）（本题满分12分） 设
内过（-（-?，?）y?y(x)是区间
?的光滑曲线，当-??x?0时，曲线上任一点处的法线都过，）22?原点，当0?x??时，函数y(x)满足y???y?x?0。求y(x)的表达式
（21）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数
f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?可导，则存在???a,b?，使得
f?b??f?a??f?????b?a?（Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?????0?内可导，且
x?0lim?f??x??A，则f???0?存在，且f???0??A。
??1??1?1?1?????1（22）（本题满分11分）设A??11，?1?1?? ????2??0?4?2?????（Ⅰ）求满足A?2
??1,A2?3??1的所有向量?2,?3
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数学二历年考研试题
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量?2,?3，证明：?1,?2,?3线性无关。
（23）（本题满分11分）设二次型f?x221,x2,x3??ax21?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3（Ⅰ）求二次型
f的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型f的规范形为
y2?y212，求a的值。
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数学二历年考研试题
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设
f(x)?x2(x?1)(x?2)，则f'(x)的零点个数为（ ）
?A?0 ?B?1. ?C?2 ?D?3
y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分?aft(x)dx（ ）
0a（2）曲线方程为
?A?曲边梯形ABOD面积. ?B?梯形ABOD面积. ?C?曲边三角形ACD面积. ?D?三角形ACD面积.
（3）在下列微分方程中，以
y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解的是（ ）
?A??C?y'''?y''?4y'?4y?0 y'''?y''?4y'?4y?0
?B??D?y'''?y''?4y'?4y?0 y'''?y''?4y'?4y?0
（5）设函数
f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）
?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.
（6）设函数
?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛. ?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.
dxdy，其中区域Duv为图中阴影部分，则
f连续，若F(u,v)???Duvf(x2?y2)x2?y2?F? ?u?A?vf(u2) ?C?vf(u)
vf(u2) uv?D?f(u)
u?B? 19
数学二历年考研试题 （7）设
A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A3?0，则（ ）
?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.
（8）设
?B?E?A不可逆，E?A可逆. ?D?E?A可逆，E?A不可逆.
?12?A???，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ）
?21?
?A????21??.
1?2???B???2?1??.
?12???21??C???.
12??
?1?2??D???.
?21??二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数
f(x)连续，且limx?02?x1?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2?1，则f(0)?____.
（10）微分方程(y?x（11）曲线sine)dx?xdy?0的通解是y?____.
?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????.
23（12）曲线
y?(x?5)x?y?????x?xy的拐点坐标为______.
（13）设z，则
?z?x(1,2)?____.
（14）设3阶矩阵
A的特征值为2,3,?.若行列式2A??48，则??___.
三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
sinx?sin?sinx??sinx???(15)（本题满分9分）求极限limx?0x4
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