数学二历年考研试题
(C)
?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.
(D)
?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ ]
?（10）设矩阵A??2?1?1??100???12?1??,B???010??，则A与B
???1?12????000??(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似.
(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11）
limarctanx?sinxx?0x3? __________. 12）曲线??x?cost?cos2（tt上对应于?的点处的法线斜率为_________.
?y?1?sint?4（13）设函数
y?12x?3，则y(n)(0)?________.
（14） 二阶常系数非齐次微分方程
y???4y??3y?2e2x的通解为y?________.
（15） 设
f(u,v)是二元可微函数，z?f??y,x??xy?，则?x?z?z?x?y?y? __________.
??0100?（16）设矩阵A??0010???0001??，则A3的秩为 .
?0000??三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设
f(x)是区间
????0,?4??上单调、可导的函数，?f(x)?10f(t)dt??xcost?sint0tsint?costdt，其中f?1是f的反函数，求
f(x).
（18）（本题满分11分）
且满足
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数学二历年考研试题 设D是位于曲线
y?xa?x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；（Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值.
（19）（本题满分10分）求微分方程
（20）（本题满分11分）已知函数
y??(x?y?2)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解.
f(u)具有二阶导数，且f?(0)?1，函数y?y(x)由方程y?xey?1?1所
dz确定，设z?f?lny?sinx?，求
dx
（21） (本题满分11分)设函数
d2zx?0,dx2x?0.
f(x),g(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，
f(a)?g(a),f(b)?g(b)，证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).
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数学二历年考研试题
（22） (本题满分11分) 设二元函数
?x2,|x|?|y|?1?1f(x,y)??,1?|x|?|y|?2?x2?y2?，计算二重积分
??f(x,y)d?，其中D???x,y?|x|?|y|?2?.
D
（23） (本题满分11分)
?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所有公共解.
?2?x1?4x2?ax3?0
24） (本题满分11分)
设三阶对称矩阵向量，记B?A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2，?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征
A5?4A3?E，其中E为3阶单位矩阵.
（I）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵B.
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数学二历年考研试题
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线
y?x?4sinx 的水平渐近线方程为
5x?2cosx（2）设函数
?1x2?3?0sintdt,x?0f(x)??x在x?0处连续，则a? .
??a, x?0（3）广义积分
???0xdx? . (1?x2)2（4）微分方程（5）设函数
y??y(1?x)的通解是 xdydxx?0y?y(x)由方程y?1?xey确定，则
? （6）设矩阵
?21?A???，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则
?12??
B? . 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数分别为
且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dyy?f(x)具有二阶导数，
f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则[ ]
(A) (C)
0?dy??y. (B) 0??y?dy. ?y?dy?0.
(D)
dy??y?0 .
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数学二历年考研试题 （8）设
f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一类间断点，则?f(t)dt是
0x（A）连续的奇函数. （C）在x
（B）连续的偶函数
?0间断的奇函数 （D）在x?0间断的偶函数.
[ ]
（9）设函数g(x)可微，h(x)?e
（A）ln3?1.
1?g(x),h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于
（B）?ln3?1.
[ ]
（D）ln2?1.
（C）?ln2?1.
（10）函数
y?C1ex?C2e?2x?xex满足的一个微分方程是
（A）（C）
y???y??2y?3xex. y???y??2y?3xex.
?
1（B）（D）
y???y??2y?3ex.
y???y??2y?3ex. [ ]
（11）设
f(x,y)为连续函数，则?4d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
00（Ａ）
?220dx?1?x2xf(x,y)dy. （B）?f(x,y)dx.
(D)
220dx?dy?1?x20f(x,y)dy.
(C)
?220dy?1?y2y?221?y200f(x,y)dx . [ ]
（12）设
f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件
?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是 [ ]
(A) 若(B) 若
fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
(C) 若(D) 若
（13）设?1,?2,?,?s均为n维列向量，
(A)
A为m?n矩阵，下列选项正确的是 [ ]
A?1,A?2,?,A?s线性相关.
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若?1,?2,?,?s线性相关，则