数学二历年考研试题
(B)
若?1,?2,?,?s线性相关，则
A?1,A?2,?,A?s线性无关.
(C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则
（14）设
A?1,A?2,?,A?s线性相关.
A?1,A?2,?,A?s线性无关.
A为
3阶矩阵，将
A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得C，记
?110???P??010?，则
?001???（Ａ）C（Ｃ）C?P?1AP. ?PTAP.
（Ｂ）C （Ｄ）C?PAP?1. ?PAPT.
［ ］
三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定A,B,C的值，使得e无穷小.
x(1?Bx?Cx2)?1?Ax?o(x3)，其中o(x3)是当x?0时比x3高阶的
（16）（本题满分10分）求
arcsinex?exdx.
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数学二历年考研试题
（17）（本题满分10分）设区域D?(x,y)x2?y2?1,x?0??， 计算二重积分
1?xydxdy. 22??D1?x?y
（18）（本题满分12分）设数列
?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)
1（Ⅰ）证明lim?xn?1?xn2n??xn存在，并求该极限；（Ⅱ）计算limn????x?. n?
（19）（本题满分10分）
证明：当0?a?b??时，
bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.
（20）（本题满分12分）
设函数
f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且z?f?x2?y2?满足等式?2z?2z?x2??y2?0. 32
数学二历年考研试题
（I）验证（II）若
（21）（本题满分12分）
f??(u)?f?(u)?0； uf(1)?0,f?(1)?1，求函数f(u)的表达式.
?x?t2?1已知曲线L的方程?2?y?4t?t,(t?0)（I）讨论L的凹凸性；（II）过点(?1,0)引L的切线，求切点
(x0,y0)，并写出切线的方程；（III）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.
（22）（本题满分9分）
已知非齐次线性方程组
?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1有?ax?x?3x?bx?134?123个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵
A的秩
r?A??2；（Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解.
（23）（本题满分9分）
设3阶实对称矩阵
A的各行元素之和均为
3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?TT是线性方程组
Ax?0的两个解.
(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得Q
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TAQ??.
数学二历年考研试题
2005年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设
y?(1?sinx)x，则dyx?? = .
（2）曲线
y?(1?x)xxdx232的斜渐近线方程为 . （3）
?(2?x01)1?x2? .
（4）微分方程xy??2y（5）当x?xlnx满足y(1)??1的解为 . 9?0时，?(x)?kx2与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则k= .
（6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵
A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)， A?1，那么B? .
如果
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数
f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]
（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M(A)
F(x)是偶函数?f(x)是奇函数.
（B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.
(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.
?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有
(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ]
?x?t2?2t,（9）设函数y=y(x)由参数方程?确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是
y?ln(1?t)?
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数学二历年考研试题
(A) (C)
11ln2?3. (B) ?ln2?3. 88?8ln2?3. (D) 8ln2?3. [ ] D?{(x,y)x2?y2?4,x?0,y?0}，f(x)为
D上的正值连续函数，a,b为常数，则
（10）设区域
??Daf(x)?bf(y)f(x)?(A)
f(y)d??
ab?. (B)
ab?2. (C)
(a?b)?. (D)
x?yx?ya?b?2 . [ ]
具有一阶导数，
（11）设函数u(x,y)则必有
(A)
???(x?y)??(x?y)???(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，
?2u?2u?2. 2?x?y?2u?2u??22?x?y. （B）
(C)
?2u?2u??x?y?y21exx?1. (D)
?2u?2u??x?y?x2. [ ]
（12）设函数
f(x)?(A)
,则 ?1 x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.
（B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.
(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. (D)
x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]
（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1关的充分必要条件是
(A)
??2)线性无
?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]
?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，
（14）设A为n（n则 [ ]
(C)
交换
A*的第1列与第2列得B*. (B) 交换A*的第1行与第2行得B*.
*(C) 交换A的第1列与第2列得?B*. (D) 交换A*的第1行与第2行得?B*. 三 、解
答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
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