江西省2017—2018学年高一数学下学期期末考试试卷（一）
（理科）
（考试时间120分钟 满分150分）
一、单项选择题（每小题5分，共60分）
1．设集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（ ） A．C．[﹣1，2） D．（﹣1，1] B．（﹣1，1） （﹣1，2）
2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 3．已知函数A．1
B．2
C．3
D．4
）=（ ）
，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（ ）
4．已知sin2α=，则cos2（α+A．
B．
C．
D．
5．某校高三年级共1200名学生，现采用分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行健康
状况调查，若抽到男生比女生多10人，则该校男生共有（ ） A．700 B．660 C．630 D．610
6．已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC=c（1﹣3cosB），sinC：sinA=（ ）
A．2：3 B．4：3 C．3：1 D．3：2 7．已知=（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），若（﹣2）⊥，则||=（ ） A． B． C． D．
8．函数f（x）=sin（x+10°）+sin（x+70°）的最大值是（ ） A．1 B．2 C． D．
9．执行如图所示的程序框图，若输入K=5，则输出的S是（ ）
A．18 B．50 C．78 D．306
10．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=（b+c）2，则cosA等于（ ） A．
B．﹣ C．
D．﹣
上的动点（含端点），
11．扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=2，其中C是OA的中点，P是
若实数λ，μ满足=λ+μ，则λ+μ的取值范围是（ ）
A．[1，] B．[1，] C．[1，2] D．[1，]
12．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为A．3
B．
C．2
同一球面上，则PA=（ ） D．
二、填空题（4×5分=20分） 13．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则2+4=______． 14．过点（2，1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为______．
15．四边形ABCD中，AC⊥BD且AC=2，BD=3，则?的最小值为______． 16．已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，tanA=m=______．
三、解答题（10分+5×12分=70分） 17．已知向量（1）（2）
与
；
夹角的正弦值． =
﹣
，
=
+
，其中
=（1，0），
=（0，1），求：
，若
+
=2m
，则
18．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测
试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．数据分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．
（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数； （Ⅱ）若参加测试的学生中9人成绩优秀，现要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知学生a、b的成绩均为优秀，求两人a、b至少有1人入选的概率．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=﹣，c=sinC．
，sinA=
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ） 若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．
20．在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF均为边长为4的正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH． （1）求证：GH⊥平面EFG； （2）求三棱锥G﹣ADE的体积．
21．已知=（sinx，cosx），=（sinx，k），=（﹣2cosx，sinx﹣k）． （1）当x∈[0，
]时，求|+|的取值范围；
（2）若g（x）=（+）?，求当k为何值时，g（x）的最小值为﹣． 22．已知函数f（x）=
（x≠0）是奇函数，且满足f（1）=f（4）．
（1）求实数a，b的值； （2）若x∈[2，+∞），函数f（x）的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于轴，请说明理由！
（3）是否存在实数同时满足以下两个条件：①不等式f（x）+＞0对x∈（0，+∞）恒成立，②方程f（x）=k在x∈[﹣8，﹣1]上有解．若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单项选择题
1． A．2． C．3． B．4． A 5． C 6． C．7． A．8． A．9． A．10． D． 11． D．12． B．
二、填空题 13．答案为：（﹣6，﹣12）． 14．答案为：3x﹣y﹣5=0． 15．答案为：﹣16．答案为：
三、解答题 17．解：（1）∵∴=则
=
﹣+
=（1，0），
=（0，1），
． ．
=（1，0）﹣2（0，1）=（1，﹣2）， =3（1，0）+（0，1）=（3，1），
=1×3﹣2×1=3﹣2=1；
（2）∵cos＜，＞===，
∴sin＜，＞==．
18．解：（Ⅰ）第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14， ∴此次测试总人数为
（人）．
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）．
（Ⅱ）设成绩优秀的9人分别为a，b，c，d，e，f，g，h，k，则选出的2人所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，af，ag，ah，ak；bc，bd，be，bf，bg，bh，bk；cd，ce，cf，cg，ch，ck；de，df，dg，dh，dk；ef，eg，eh，ek；fg，fh，fk；gh，gk；hk． 共36种，其中a、b到少有1人入选的情况有15种， ∴a、b两人至少有1人入选的概率为
19．解：（Ⅰ）在△ABC中，因为由正弦定理
，
．
，
得（Ⅱ） 由 由则
得，
．…
得，
， ，
，
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，
化简得，b2﹣2b﹣15=0，解得b=5或b=﹣3（舍负）． 所以
． …
20．证明：（I）连结FH，
∵CD⊥CF，CD⊥BC，∴CD⊥平面BCFG， 又GH?平面BCFG，
∴CD⊥GH，又CD∥EF， ∴EF⊥GH，
∵AB=4，∴BH=1，BG=2，CF=4，CH=3， ∴GH=，FG=2，FH=5， ∴GH2+FG2=FH2，∴GH⊥FG．
又EF?平面EFG，FG?平面EFG，EF∩FG=F， ∴GH⊥平面EFG．
（2）∵四边形ABCD与CDEF均为边长为4的正方形， ∴CD⊥DE，CD⊥AD，CD∥AB．
又AD?平面ADE，DE?平面ADE，AD∩DE=D， ∴CD⊥平面ADE，又AB∥CD， ∴AB⊥平面ADE． ∴VG﹣ADE=VB﹣ADE=
=
=
．
21．解：=（sinx﹣2cosx，sinx）（1）， ||2=（sinx﹣2cosx，sinx）2 =2sin2x﹣4sinxcosx+4cos2x =2cos2x﹣4sinxcosx+2 =cos2x﹣2sin2x+3
=cos（2x+φ）+3，其中，tanφ=2， 又∵x∈[0，
]，