中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．
25．手工课上，小明准备做个形状是菱形的风筝，这个菱形两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积为S，随其中一条对角线的长x的变化而变化． ①求S与x之间的函数关系式（不要求写出取值范围）
②当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大的面积是多少？ 【考点】二次函数的应用．
【分析】①首先表示出菱形对角线的长，再利用菱形面积求法得出答案； ②利用配方法求出二次函数最值即可．
【解答】解：①根据题意可得：一条对角线的长为xcm，则另一对角线长为：（60﹣x），
则S=x（60﹣x）=﹣x2+30x；
②由①得：y=﹣x2+30x=﹣（x﹣30）2+450，
故当x是30cm时，菱形风筝的面积S最大，最大的面积是450cm2．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意结合菱形的性质得出y与x之间的关系式是解题关键．
26．（10分）（2016?南宁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OB=10，CD=8，求BE的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC
平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径，即可得证；
（2）过O作OG垂直于BE，可得出四边形ODCG为矩形，在直角三角形OBG中，利用勾股定理求出BG的长，由垂径定理可得BE=2BG． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵BD为∠ABC平分线， ∴∠1=∠2， ∵OB=OD， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OD∥BC， ∵∠C=90°， ∴∠ODA=90°， 则AC为圆O的切线；
（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE， ∴四边形ODCG为矩形， ∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6， ∵OG⊥BE，OB=OE， ∴BE=2BG=12． 解得：BE=12．
【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
27．（10分）（2016秋?城北区校级月考）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．如果每件的售价每涨价1元（售价不
可以高于45元），那么每星期少卖出10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期销量为y件．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如何定价才能使每星期的利润为1560元？ 【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用． 【分析】（1）根据题意可以得到y关于x的函数关系式；
（2）由题意可以得到利润和定价之间的关系式，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）由题意可得， y=150﹣10x（0≤x≤5）
即y与x的函数关系式是y=150﹣10x（0≤x≤5）； （2）设当定价为a元时，每星期的利润为1560元， （a﹣30）[150﹣10（a﹣40）]=1560 解得，a1=42，a2=43，
即当定价为42元或43元时，每星期的利润为1560元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
28．（12分）（2016秋?城北区校级月考）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和C（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标； （2）设抛物线的顶点为D，求四边形ACDB的面积；
（3）点P（2，﹣2）是二次函数的对称轴上一点，连接OP，找出x轴上所有点M，使得△OPM是等腰三角形，并直接写出所有点M的坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，令y=0代入解方程即可求它与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）先计算顶点D的坐标，再利用面积和求四边形ACDB的面积；
（3）分别以O和P为顶点画圆与x轴相交，其交点即为点M，还包括当点E与M重合时，所有点M的坐标． 【解答】解：（1）根据题意，解得：
，
，
∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣5， 当y=0时，x2﹣4x﹣5=0， 解得：x1=5，x2=﹣1，
∵点A的坐标是（﹣1，0）， ∴B（5，0），
答：该二次函数的解析式是y=x2﹣4x﹣5，和它与x轴的另一个交点B的坐标是（5，0）；
（2）如图1，y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9， ∴顶点坐标D（2，﹣9）， ∴OE=2，DE=9，
∴S四边形ACDB=S△AOC+S梯形OCDE+S△BDE， =OA?OC+（OC+DE）×OE+BE?DE， =×1×5+×（5+9）×2+×3×9， =2.5+14+13.5， =30，
所以四边形ACDB面积为：30； （3）①当OP=PN时，OE=EM=2， ∴M（4，0），
②当OP=OM时，OM=2∴M1（﹣2
，
，0），
，0），M2（2
③当OE=EP时，此时E与M重合， ∴M（2，0），
综上所述，符合条件的坐标有共有4个， 分别是M1（4，0）M2（2，0）M3（﹣2
，0）M4（2
，0）， 答：x轴上所有点M的坐标是（4，0），使得△OPM是等腰三角形．
2，0），2，0），2
，0），
（（（﹣
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、等腰三角形的判定、
抛物线与x轴交点的求法；难度不大，求抛物线与x轴交点时，令y=0代入即可．