?????tF?t?于是 p??mv,p?m(?v?dt)??mv?Fdt0000??00m???t??, ?p?p?p?Fdt??p20?10????同理， ?vv2??1,I2?I1
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即
2 I?(10?2t)dt?10t?t?0t亦即 t? 10t?200?0解得t?10s，(t??20s舍去)
2．一颗子弹由枪口射出时速率为v0m?s，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．
解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
,得t?F?(a?bt)?0(2)子弹所受的冲量
t12 I?(a?bt)dt?at?bt?02a将t?代入，得
b?12a ba2 I?2b(3)由动量定理可求得子弹的质量
Ia2 m??v02bv03．如图所示，一质量为m的球，在质量为M半径为R的1/4圆弧形滑槽中从静止滑下。圆弧形滑槽放在光滑水平面上，初始时刻也处于静止状态。求当小球m滑到槽底脱离槽时的速度。
解: m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有
1212 mgR?mv?MV22又下滑过程，动量守恒，以m,M为系统则在m脱离M瞬
间，水平方向有
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mv?MV?0联立以上两式，得
v?2MgR
?m?M?4．如图所示，质量为M＝1.5 kg的物体，用一根长为l＝1.25 m的细绳悬挂在天花板上．今有一质量为m＝10 g的子弹以v0＝500 m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v ＝30 m/s，设穿透时间极短．求：
(1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．
解 （1） 由于穿透时间极短,可认为穿透过程在瞬间完成。此过 l 程系统在水平方向满足动量守恒。 m vMV?mv0??3v m(vv?)10?10(500?30)0 V 0???3.13m/sM1.5m ? ?v 对M进行受力分析有
22V3.13 T ?Mg?M?1.5??9.81.5??26.5Nl1.25M (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量：
?3 I??p?mv?mv?10??10(30500)??4.7Ns0?上式中负号表示冲量方向与v0方向相反。
5．质量为1 kg的物体，它与水平桌面间的摩擦系数? = 0.1 ．现对物体施以F = 10t+10 (SI)的力，（t表示时刻），力的方向保持一定，如图所示．如t = 0时物体静止，则t = 3 s时 它的速度大小v 为多少?(取重力加速度g?10ms)
解:对物体在水平方向应用动量定理
3?230°F Fcos30?(mgF?sin30)dt?mv?0 (
0?0?0由于m?1kg，F = 10t+10，故有
3?[(10t?10)cos30?(mg?(10t?10)sin30]dt v
03033?00?000??[(10t?10)cos30dt???mgdt???(10t?10)sin30dt0 ?3?(5?9?10?3)?0.1?1?10?3?0.1?0.5?(5?9?10?3)
2?64.95?3?3.75?58.2m/s6．静水中停着两条质量均为M的小船，当第一条船中的一个质量为m的人以水平速度v（相对于地面）跳上第二条船后，两船运动的速度各多大？（忽略水对船的阻力）．
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解:该过程满足水平方向的动量守恒：
对第一条船： 0 ?mv?MV1 V1??mv M上式中负号表示对第一条船运动方向与v方向相反； 对第二条船： m v?(mM?)V2 V2??mv
m?M7．一质量为m的质点在Oxy平面上运动，其位置矢量为 r(SI) ?acosti?bsintj式中a、b、?是正值常量，且a＞b． (1)求质点在A点(a，0)时和B点(0，b)时的动能；
??(2)求质点所受的合外力F以及当质点从A点运动到B点的过程中F的分力Fx和Fy分别作的功．
解: (1)质点在A点(a，0)时和B点(0，b)时的动能
由题意：r ?acosti?bsintj?xi?yj v ???asinti?bcostj??yi?xj2??dr?dt??b????aba???2222a??2 2b v(x,y)?2y?2xba22221a2b2122 所以 E (a,)0?m(2?0?a)?mbA22ba222221a2b2122 E (0,b)?m(?b???0)maA222ba2 (2) 质点所受的合外力F
?v?d22 a ???ac?ost?i?b?sin?tjdt??2222?ma??macosti?mbsintmj??xi?myj?Fij?F F xy??? 当质点从A点运动到B点的过程中F的分力Fx分别作的功
00??????12221222Fdx??mx?dx?ma? ?x?2aa当质点从A点运动到B点的过程中F的分力Fy分别作的功 Fdy?my?dy?mb? ??y200bb8．一人从10 m深的井中提水．起始时桶中装有10 kg的水，桶的质量为1 kg，由于水桶漏水，
每升高1 m要漏去0.2 kg的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功． 解:设桶的质量为m0，起始时桶中装满水的质量为M0，以起始点为坐标原点，坐标轴方向竖直向
上，则水桶匀速地从井中提到井口过程的任意位置，人的拉力为
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F (x)(?M?0.2x)g?mg01010所以 A ?F()xdx?[(M?0.2x)gm?g]dx000210 ?(M?m)(g10??0)0.2g??980J02??9一个质点在几个力同时作用下位移为?r??4i5j?6kSI??，其中一个力为，求此力在该位移过程中所作的功。 F??3i?4j?5kSI??解:此为恒力做功，故有
A ?F??r?(?3i?4j?5k)(4i?5j?6k)??12?20?30?38J10 设F．(1) 当一质点从原点运动到r时，求F所作的功．(2)?7i?6jN??34i??j16km合如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化． 解: (1) A ?(7i?6j)[(?3i?4j?16k)?0]??21?24??45J(2) 如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率： P??P?45 ???75W?t0.6(3)由动能定理，质点动能的变化为： ? EA??45Jk?11．如图所示，一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端一重物C，C的质量为M，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之
比．?
解: 弹簧A、B及重物C受力如题5图所示平衡时，有
FFMgA?B?又 Fk?xA?11
Fk?xB?22
所以静止时两弹簧伸长量之比为
?x1k2? ?x2k1弹性势能之比为
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Ep1Ep21k1?x12k?2?2 1k12k2?x2212．某弹簧不遵守胡克定律. 设施力F，相应伸长为x，力与伸长的关系为 F＝52.8x＋38.4x2（SI）求：
(1)将弹簧从伸长x1＝0.50 m拉伸到伸长x2＝1.00 m时，外力所需做的功．
(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x2＝1.00 m，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x1＝0.50 m时，物体的速率．
(3)此弹簧的弹力是保守力吗？
8.42233解:（1）A ?(52.83x?8.4x)dx?(26.4x?x)?31J?30.50.5(2) 由动能定理
0.511 A ?(52.8x?38.4)x(?dx)?mv?01?2122 所以 v?2A23?1 ??5.34m/sm2.17(3) 此弹簧的弹力做功与路径无关，故是保守力。
13．如图所示，质量m为 0.1 kg的木块，在一水平面上和一个劲度系数k为20 N/m的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长压缩了x = 0.4 m．假设木块与水平面间的滑动摩擦系数? k为0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率v为多少？
解:在该过程中，物体受力的方向与位移的方向相反，故力做负功。由动能定理:
0.4 ?(kx?0.25mg)dx?0?mv
0?122 k m 1122 ? 20?0.4?0.25?0.1?9.8??0.4?0.1v22220?0.4?0.5?0.1?9.8?0.4??33.96?5.83m/s v
0.114．(1)试计算月球和地球对m物体的引力相抵消的一点P，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98×10
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kg，地球中心到月球中心的距离3.84×10m，月球质量7.35×10kg，月球半径1.74×
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10m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多
少??
?F解: (1)设在距月球中心为r处F，由万有引力定律，有 月引地引mMmM地G2月?G 2r?R?r?经整理，得
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