r?M月M地?M月R
=
227.35?1024225.98?10?7.35?1068 ?3.48?10 ? 38.32?10m则P点处至月球表面的距离为
67 h?r?r?(38.32?1.74)?10?3.66?10m月 (2)质量为1kg的物体在P点的引力势能为
MM月地 E??G?GP??rR?r22247.35?10.98?10?115 ? ?6.67?10??6.67?10?77??3.83?1038.4?3.83?10116 ?1.28?10J15．如图所示，在与水平面成?角的光滑斜面上放一质量为m的物体，此物体系于一劲度系数为k
的轻弹簧的一端，弹簧的另一端固定．设物体最初静止于平衡点．今使物体获得一沿斜面向下的速
度，设起始动能为EK0，试求物体在弹簧的伸长达到x时的动能. 解:物体处于平衡点时，弹簧的静伸长为： x0?mgsin? k1mgsin212 )?E?kxm?gxsink2k2 k 该过程满足机械能守恒，故有 E?K(k0 由此得到：
212(mgsin?) EE ??mgxsin??kx?kk022k??m ??16．一物体与斜面间的摩擦系数? = 0.20，斜面固定，倾角? = 45°．现给予物体以初速率v 0 = 10 m/s，
使它沿斜面向上滑，如图所示．求：
(1) 物体能够上升的最大高度h；
(2) 该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v ． 解:（1）设物体能够上升的最大高度h，相应的斜面长度为S。由功能原理： ? ?mgcos?s?mgh?mv0122h s?
sin? 由上两式可得
?v0 ??h 16
2v1000 h ???4.25m2g(1???ctg)2?9.8(1?0.2)（2） 该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v 可再由功能原理获得： ? ?mgcos?s?mv?mgh2 v .?2gh(1?ctg)??29?.84?.25?0.8?66.64m8s16/17．如图所示，在光滑水平面上，放一倾角为??的楔块，质量为M，在楔块的光滑斜面上A处放一
质量为m的小物块，开始时小物块与楔块均静止．当小物块沿斜面运动，在竖直方向下降h时，试证楔块对地的速度大小为
222mghcos? v ?2(m?M)(M?msin?)解:设小物块相对楔块的速度为v?，对地的速度为v，楔块对地的速度V为。取水平向右为x正向，竖直向上为y正向。则
??12mAM? ? v （1） vcos??Vx??s v?vin? （2） y? 由于该过程系统满足水平方向动量守恒和机械能守恒条件，故有
? M （3） V?m(vcos?V)0???? m （4） gh?MV?m[(vcos?V)?(vsin)]（4）可化为：
12212?2?2??? m （5） gh?MV?m[v2vVcos?V]将（1）中v?解出代入（5）
2(M?m)12 m gh?[?(M?m)]V22cmos?2122122?2由此得到
22mgh2mghcos? V??22(M?m)1(M?m)(M?msin?)?(M?m)22cmos?218．如图所示，悬挂的轻弹簧下端挂着质量为m1、m2的两个物体，开始时处于静止状态．现在突
然把m1与m2间的连线剪断，求m1的最大速度为多少？设弹簧的劲度系数k＝8.9×104 N/m，m1＝0.5 kg，m2＝0.3 kg．
解: 轻弹簧下端挂质量为m1物体时，弹簧的静伸长为： x01?m1g （1） km1 m2 轻弹簧下端挂质量为m1、m2的两个物体时，弹簧的静伸长为：
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x012?(m1?m2)g （2）
k1 物体的最大速度出现在其平衡位置
连线剪断后，过程满足机械能守恒，m
x01处，故有：
121212 （3） kx?mg(x?x)?kx?mv01210120101222将式（1）、（2）代入（3）式的：
2 v??mg0.3?9.82.942.94?2 ???1.39?10m/s4100?2.11mk01004.45.5?8.9?10119 如图所示，一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a．设
链条与桌面之间的滑动摩擦系数为?．令链条由静止开始运动，则 (1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？ l?a (2)链条刚离开桌面时的速率是多少？
a 解: (1)链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作的功： 设任一时刻，下落链条的长度为x，则留在桌面链条的长度为l?x，于是 A??am?mg2 ?(l?x)gdx??(l?a)Nm?ll2l（2） 链条刚离开桌面时的速率。
将整个链条作为研究对象，由功能原理：
A ???()la?[?m()g??mv][?()a()g]?mv??(la)?mg2l2l1ma1mg222222l222l由此得到：
1g2222????(l?a)??(l?a)/s v ?ml20 如图所示，有一门质量为M (含炮弹)的大炮，在一斜面上无摩擦地由静止开始下滑．当滑下l
距离时，从炮内沿水平方向射出一发质量为m的炮弹．欲使炮车在发射炮弹后的瞬时停止滑动，炮弹的初速v（对地）应是多少？(设斜面倾角为? )．
l解: 炮车在斜面上滑下l距离时，其速度为（机械能守恒）： V ?2glsin?炮内射出质量为m的炮弹，系统在沿斜面方向满足动量守恒 M 2glsin?mvcon?0由此得到
v?M? ??mcos? 2glsin?21．如图所示，在中间有一小孔O的水平光滑桌面上放置一个用绳子连结的、质量m = 4 kg的小块
物体．绳的另一端穿过小孔下垂且用手拉住．开始时物体以半径R0 = 0.5 m在桌面上转动，其线速度是4 m/s．现将绳缓慢地匀速下拉以缩短物体的转动半径．而绳最多只能承受 600 N的拉力．求绳刚被拉断时，物体的转动半径R等于多少？
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解: 缩短物体转动半径的过程满足角动量守恒： m （1） RvmRv00?设v为绳刚被拉断时对应的物体速度，R为对应的转动半径，则：
O v2 F0?m （2）
R联立（1）、（2）两式得：
11122mRv4?0.25?1600333 R ?()?()?(0.02667)?0.3mF600022．哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为r1＝8.75×10m 时的速率是v1＝5.46×10?m·s，它离太阳最远时的速率是v2＝9.08×10m·s?这时它离太阳的距离r2多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)?（5） .26?10m解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗
星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有 r mvrmv11?22104rv.75?10?5.46?1012118∴ r ???5.26?10m22v9.08?102124
-1
2
-1
10
23．物体质量为3kg，t=0时位于r?4, vim??i6jm?s，如一恒力f?5jN作用在物体上,求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对z轴角动量的变化．
?1???3??1p?fdt?5jdt?15jkg?m?s 解: (1) ? ??0(2)解法(一) x ?x?vt?4?3?700x11522 y?vt?at?6?3???3?25.5j0y223?????即 r1?4i,r?7i?25.5j 2 vv1x?0x?5 v?v?at?6??3?11y0y3??????即 v,?i?6jv?i?11j 112???????∴ L ?r?mv?4i?3(i?6j)?72k111???????? L?r?mv?(7i?25.5j)?3(i?11j)?154.5k222 19
?2????1∴ ? L?L?L?82.5kkg?m?s21解法(二) ∵M?dz dt∴ ? L?M?dt?(r?F)dt00??t??t???3?15??????(4?t)i?(6t?)?t2)j??5jdt023??
??312??5(4?t)kdt?82.5kkg?m?s?0
第4章 刚体的定轴转动 习题及答案
1．刚体绕一定轴作匀变速转动，刚体上任一点是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向和法向加速度的大小是否随时间变化？
答：当刚体作匀变速转动时,角加速度?不变。刚体上任一点都作匀变速圆周运动，因此该点速率在均匀变化，v?l?，所以一定有切向加速度at?l?，其大小不变。又因该点速度的方向变化，所以一定有法向加速度an?l?，由于角速度变化，所以法向加速度的大小也在变化。
2. 刚体绕定轴转动的转动定律和质点系的动量矩定理是什么关系？
答：刚体是一个特殊的质点系，它应遵守质点系的动量矩定理，当刚体绕定轴Z转动时，动量矩定理的形式为Mz?2dLz，Mz表示刚体对Z轴的合外力矩，Lz表示刚体对Z轴的动量矩。dt22,其中I???Lml??I?m???z?iiili?，代表刚体对定轴的转动惯量，所以
dLdd?z。既 MM??I??I?I???z?I?。 zdtdtdt所以刚体定轴转动的转动定律是质点系的动量矩定理在刚体绕定轴转动时的具体表现形式，
及质点系的动量矩定理用于刚体时在刚体转轴方向的分量表达式。
3．两个半径相同的轮子，质量相同，但一个轮子的质量聚集在边缘附近，另一个轮子的质量分布比较均匀，试问：（1）如果它们的角动量相同，哪个轮子转得快？（2）如果它们的角速度相同，哪个轮子的角动量大？
答：(1)由于L?I?，而转动惯量与质量分布有关，半径、质量均相同的轮子，质量聚集在边缘附近的轮子的转动惯量大，故角速度小，转得慢，质量分布比较均匀的轮子转得快；
（2）如果它们的角速度相同，则质量聚集在边缘附近的轮子角动量大。
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