x2y2?2?1 2A1A2故，质点的运动轨迹为一椭圆。
????dr（2）v???A1?sin?ti?A2?cos?tj
dt????dv?22a???A1?cos?ti?A2?sin?tj???2r
dt故，质点的加速度恒指向椭圆中心。
??（3）因在M点，a与v的夹角为钝角，所以其速率减少。
2．质量为M，长为l的直杆，可绕水平轴O无摩擦地转动。设一质量为m的子弹沿水平方向飞来，恰好射入杆的下端，若直杆（连同射入的子弹）的最大摆角为??60，试证子弹的速度为：
0图3-2
v0?(2m?M)(3m?M)gl122。（子弹射入杆后，整体对轴的转动惯量 J?ml?Ml）O6m23解：碰撞过程系统对O轴角动量守恒，即
1mv0l?(ml2?Ml2)? （1）
3转动过程系统机械能守恒，即
11ll(ml2?Ml2)?2?Mg?mg(l?lcos600)?Mg(l?cos600) 23222l(3m?M)?2?(2m?M)g （2） 3联立求解（1）、（2）可得 v0?(2m?M)(3m?M)gl 26m3. 理想气体由初态（p0、V0）经绝热膨胀至末态（p、V）；试证明这一过程中气体所做的功为：A?解：?p0V0?pV。
??1Q?0
?iiA???E???CV,m?T2?T1???R?T1?T2???p0V0?pV?
22Cp,mCV,m?i?22 即 i? i??1 而 ??故 A?四、计算题
p0V0?pV
??1 21
1．质量为m，速度为vo的摩托车，在关闭发动机以后沿直线滑行，它所受到的阻力
f??cv，式中c为正常数。试求：①关闭发动机后t时刻的速度；②关闭发动机后t时间
内所走的路程。
解：以关闭发动机这一时刻为计时起点，该位置为坐标原点，沿运动方向建立ox坐标轴。
（1）根据牛顿运动定律，得 f??cv?mdv dtvdvtvcdvcc则 ??t ??dt ； ????dt； lnv0v0v0mvmm所以 v?v0ec?tm，方向始终沿着x轴的正方向。
c?t?t?txtdx?v0em，得 dx?v0emdt，?dx??v0emdt （2）由v?00dt?tmv0(1?em) 所以 x?cccc?中的a、b、?为常数。试求：（1）该质点所受到的对坐标原点o的力矩M；（2）该质点
?对o点的角动量L。
????dr解：v???a?sin?ti?b?cos?tj
dt????dv?22a???a?cos?ti?b?sin?tj???2r ?dt?2?（1） F?ma??m?r ???所以 M?r?F?0
?????22（2）L?r?mv?(mab?cos?t?mab?sin?t)k?mab?k
3. 如图4-1所示，转轮A，B可分别独立地绕光滑的O轴转动，它们的质量分别为mA=10kg和mB=20kg，半径分别为rA和rB；现用
图4-1
2. 一质量为m的质点在xoy平面内运动，其运动方程为r?acos?ti?bsin?tj，式
???力fA和fB分别拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动；为使A，B
轮边缘处的切向加速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多少?(其中A，B轮绕O轴转动时的转动惯量分别为JA?1122和JB?mBrB)? mArA22解：由题意知 atA?rA?A?atB?rB?B 则
?ArB? ?BrA 22
2JAmArA?而 2JBmBrB根据转动定律，得 fArA?JA?A；fBrB?JB?B 所以
fAJA?ArBmA1??? fBJB?BrAmB24.一摩尔刚性双原子理想气体，经历一循环过程abca如图4—2所示，其中
过程为等温过程。试计算：
(1)系统对外作净功为多少?(2)该循环热机的效率?=?（ln2?0.69）
解：由理想气体状态方程可得
图4-2
Ta?Tb?T?P0V0PV；Tc?00 R2R2V0?0.69P0V0；Abc?0.5P0(V0?2V0)??0.5P0V0；Aca?0 V0（1）Aab?RTln所以
A?Aab?Abc?Aca?0.19P0V0
（2）循环过程系统吸收的热量 Q1?Qab?Qca?Aab?cV.m(Ta?Tc)
?0.69P0V0?所以 ??5R(Ta?Tc)?1.94P0V0 2A?9.8% Q15. 质量为M=1.5kg物体，用一根长为l=1.25m的细绳悬挂在天花板上，今有一质量为m=10g的子弹以v0=500m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v=30m/s，设穿透时间极短，求：
(1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量。
解：(1) 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置；因此,作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒。设子弹刚穿出物体时的物体速度为v? , 有：
mυ0?mυ?Mυ?
m(υ0?υ)?3.13 m/s M 2
绳中张力 T=Mg+M v?/l
= Mg+ m2(v0?v)2/( Ml)=26.5N
? (2) 子弹所受冲量 I= m(v?v0)=?4.7N·s (设 v0方向为正方向)
υ??
23
负号表示冲量方向与v0方向相反。
6. 一卡诺热机(可逆的)，当高温热源的温度为400K、低温热源温度为300K时，其每次循环对外做净功8000 J。今维持低温热源的温度不变，提高高温热源温度，使其每次循环对外做净功 10000 J。若两个卡诺循环都工作在相同的两条绝热线之间，试求： (1) 第二个循环的热机效率；
(2) 第二个循环的高温热源的温度。 解：(1) ???WQ1?Q2T1?T2 ??Q1Q1T1 Q1?WQTT1 且 2?2
Q1T1T1?T2 Q2?T1TT2?2W?W?24000J
T1?T2T1T1?T2??W??Q2??W??Q2 由于第二循环吸热 Q1??29.4% ???W?/Q1 (2) T1??T2?425K ?1??7. 光滑圆盘面上有一质量为m的物体A，拴在一根穿过圆盘中心O处光滑小孔的细绳上，如图所示。开始时，该物体距圆盘中心O的距离为r0，并以角速度?0绕盘心O作圆周运动。现向下拉绳，当质点A的径向距离由r0减少到时，向下拉的速度为υ，求下拉过程中拉力所作的功。 解：角动量守恒 mv0r0?mv?r ① υ? 为 r?1r021r0时小球的横向速度。 21212 拉力作功 W?mvB?mv0 ②
22222 υB 为小球对地的总速度， 而 vB?v??v
当 r?112r0时 W?(3mr02?0/2)?mv2 22的速率沿相反方向
/s8. 两个滑冰运动员A 、B的质量均为m?70 kg，以?0?6.5 m滑行，滑行路线间的垂直距离为R?10 m，当彼此交错时，各抓住10 m绳索的一端，然后
相对旋转, 问：
(1) 在抓住绳索之前，各自对绳中心的角动量是多少？抓住后又是多少？
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(2) 他们各自收拢绳索，到绳长为r?5 m时，各自的速率如何？ (3) 绳长为5 m时，绳内的张力多大？
解：设质心在 O点，它与绳的中点重合。质心速度为零，质心保持在O 点不动。mA 、mB 分别为两个滑冰运动员的质量，mA?mB?m
1m?0R?2.28?103kg?m2/s 2 抓住绳之后，A受B的拉力对O点的力距为零，所以A对O点的角动量不变， 即
(1) 抓住绳之前A对O点的角动量为 LAO???LAO?2.28?103kg?m2/s LAOB的角动量与A 的相同。
(2) 绳的原长R?10 m，收拢后为r?5 m。因为A对O点的角动量守恒，故收绳后A 的速率??由下式决定：
11v0/r?13m / s mv?r?mv0R ， v??R22B 的速率与A 相同 。
v?2 (3) 张力 T?m?4.73?103N
r/29. 水平小车的B端固定一轻弹簧，弹簧为自然长度时，靠在弹簧上的滑块距小车A端为L?1.1 m。已知小车质量M?10 kg，滑块质量m?1 kg，弹簧的劲度
系数 k?110 N/m。现推动滑块将弹簧压缩
?l?0.05 m并维持滑块与小车静止，然后同时释放滑块与小车；忽略一切摩擦，求：
(1) 滑块与弹簧刚刚分离时，小车及滑块相对地的速度各为多少？ (2) 滑块与弹簧分离后，又经多少时间滑块从小车上掉下来？
解：(1) 以小车、滑块、弹簧为系统，忽略一切摩擦，在弹簧恢复原长的过程中，系统的机械能守恒，水平方向动量守恒。设滑块与弹簧刚分离时，车与滑块对地的速度分别为V和υ，则
111k?l2?mv2?MV2 ? ① 222 mv?MV ②
解出 V?k?l?0.05m/s，向左
M?M2/m v?k?l?0.5m/s ，向右 2m?m/M (2) 滑块相对于小车的速度为v??v?V?0.55m/s ， 向右 ?t?L/v??2s
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