板书设计（或电子教案） O 概率论的基本概念 ? 随机事件与样本空间 试验 定义：广义地讲，从某一研究目的出发，对随机现象进行观察或测量的过程均可成为随机试验。一个过程的结果的某种集合成为一个事件，无法再分解为更简单成分的结果或事件成为基本事件。随随机试验的结果也称为随机事件 ? 概率的定义 古典概率：假设一个试验包括n种不同的基本事件，这些基本事件发生的可能性都是相同的。如果在这n个结果中，有m种属于事件A，那么 P(A)=m/n 概率的统计：将一个试验在相同的条件下重复n次，假设事件A出现了m次。当试验的重复次数足够多时，事件A发生的概率可以用事件A的发生的频率来近似。 P(A)=m/n 主观概率：事件A的概率P(A)是基于相关环境的知识，通过对它的值进行猜想或估计计算出的。 ? 概率的运算规则 加法法则 一般情况下： P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) A和B是互斥事件： P(A+B)=P(A)+P(B) 乘法法则 两个事件A和B，如果一个的发生不影响另一个的发生概率，则称这两个事件是独立的。如果A和B不独立，则称它们是非独立的。 一般情况下：P(AB)=P(A)?P(B A) 所以：P(B A)=P(AB)/P(A) 如果A和B是独立的,则：P(AB)=P(A)?P(B) 全概率公式与贝叶斯公式 事件组A1,A2,??，An满足： ① A1,A2,??，An两两相斥，且P(Ai)>0 (i=1,?，n) ② A1+A2+??+An=U(U为整个样本空间)，则对任一事件B皆有 P(B)= 贝叶斯公式的一种形式： 第 36 页 共 72 页
? 随机变量与概率分布 随机变量：指这样一个变量（通常用X来表示），对于过程中的每一个结果，都有一个由可能性决定的唯一的数值与之对应。 离散随机变量：变量的数值有限或可数。 连续随机变量：一个随机变量有无限多取值，这些数值能够和一种没有间断的连续刻度的度量联系起来。 概率分布：表示随机变量每个值的概率图、表或公式。 ? 随机变量的数字特性 期望值：如果随机试验无限重复下去，我们所期望得到的那个平均值。 方差：随机变量的取值与其期望值的偏离程度。 离散随机变量X的期望值 (xi为随机变量X的第i个取值，pi为P(xi)) 连续随机变量X的期望值 (x为随机变量X的取值，f(x)为随机变量X的概率密度函数) 离散随机变量X的方差 (μ为随机变量X的期望值) 连续随机变量X的方差 O 数理统计的基本概念 ? 统计推断：抽取部分样本进行观察，经过整理分析，然后对所研究的对象做出推断，得到一般的结论。 ? 总体、样本与分布 按照统计研究目的而确定的同类事物或现象的全体成为总体，它是个体或个体性质特征的集合。样本指的是从总体中抽取若干个元素而构成的集体。 总体的数值分布的规律称为总体分布，其中的特征数称为参数。从总体中抽取容量为n的样本，样本观察值的分布称为经验分布。 使用样本数据来估计总体参数的公式或过程称为估计量。用来近似总体参数的特定数值或数值的范围称为估计值。 ? 偏态 第 37 页 共 72 页
? 相关 线性相关系数r（也称为皮尔森积距相关系数）度量的是在一个样本中成对的x值和y值之间线性相关的程度。 (-1 ≤ r ≤ 1) σxx 和σyy即随机变量X和Y的标准差，σ称为X和Y的协方差 xy也记为cov(X,Y),
第20课时
本单元教学内容 本单元的教学方式（手段） 本单元师生活动设计 提出问题，启发学生思考 本单元的讲课提纲、板书设计（或电子教案） 2.常用的损失分布及性质 O 二项分布——离散型概率分布 讲授，多媒体 第10章 损失分布（2） 假设在n次独立的重复试验中，每次试验只可能有两种结果（1或0），设在每一次试验中1出现的概率都是p。令X为n次试验中1出现的次数，则随机变量X的概率分布为 (k=0,1,?,n; q=1-p) 记为B(n,p)。二项分布的均值：E(X)=np 方差: Var(X)=npq O 几何分布 考虑只有两个结果的独立重复随即试验序列，指定结果发生的概率为p,则首次出现指定结果所需的试验次数X的概率分布为 P{X=k} = p(1-p), k=1,2,?；q=1-p k 第 38 页 共 72 页
记为 Geo(p),0 ? 选择先验分布 ? 确定似然函数 ? 确定参数θ的后验分布 ? 选择损失函数并估计参数 本课思考题 设某运输车队每年的事故发生数服从泊松分布，参数λ可取1.0或1.5，又设λ的先验分布为P（λ=1.0）=0.4，P（λ=1.5）=0.6，假如某一年该车队发生了三次事故，求λ的后验分布。在二次函数的损失函数下，求参数λ的贝叶斯估计。 第 40 页 共 72 页