《生物统计学》
习 题 集
《生物统计学》
习题一
第一章 随机事件及其概率；随机变量及其分布
1.实验是射手对着靶子射击三次，事件表示下列事情：
——至少一次射中； ——三次都没有射中；
——三次都射中；
是第次射击中靶（=1,2,3），用
，
，
——至少一次没有射中； ——射中不少于两次； ——射中不多于一次； ——第一次射击后才中靶.
2.实验是掷三枚硬币.设硬币编上了号并且事件币掷出国徽.用，，表示下列事件：
——掷出一个国会与两个金额； ——掷出不多于一个国徽；
——掷出的国徽个数小于掷出的金额个数； ——掷出至少两个国徽；
——第一枚硬币掷出国徽，而其余是金额；
——第一枚硬币掷出金额并且其余的至少有一枚掷出国徽. 3.设A，B，C是任意时间，下列事件表示什么： ，
，
，
，
，
，
.
4.根据下列事件所包含的事件的情况：
发生或不发生，列举它们所有发生与不发生
，
，
分别表示第一，二，三枚硬
a）； b） c）； d） e）.
5.列举下列等式（事件的运算性质）左边与右边事件所有发生与不发生情况，来证明这些等式：
1)，； 2)，；
3)4)5)
，
.
，
，
，
，
； ；
；
6),,,
6.应用运算性质（参看第5题）证明下列等式： a)c)
； b)
d)
e)； .
；
.
d)
7.证明下列事件的必然性： a)
b)
8.化简下列表示式：
a)； b)9.证明下列等式：
a)； b)10.用数学归纳法证明： a)
；
b)
11.试确定下列哪些命题为真： a)
c)
12.证明下列命题： a)c)e)f)g)
.
；
e).
； ；
；
；
是修理第个Ⅰ类部件，
； b)
； d)； b)； d)
13.仪表由2个Ⅰ类部件与3个Ⅱ类部件组成。事件事件
是修理第个Ⅱ类部件。如果修理了至少一个Ⅰ类部件与不少于两个Ⅱ类
部件，这仪表就能使用。试用与来表示仪表能使用的事件。
14.船舶有1个操舵设备、4个锅炉与2个轮机。事件表示修理操舵设备，
表示修理第锅炉，
表示修理第个轮机。事件
表示船舶能驾，
，
驶，这只有当修理了操舵设备、至少一个锅炉以及至少一个轮机才可以。试用
表示与。
15.对4个同类对象组成的群进行观察，它们中的每一个在观察时间内可能被发现或者没被发现。考虑下列事件：
——恰好发现4个对象中的1个； ——发现至少1个对象；
——发现不少于2个对象； ——恰好发现2个对象； ——恰好发现3个对象； ——发现全部4个对象. 指出下列事件是什么： 1)
； 2)
； 3)
；
4)； 5)； 6).
16.技术检查部门从一批1000件产品中发现5件废品。试求生产废品的频率。 17.为了查明种子的质量，取出1000粒种子并在实验室条件下播种，有980粒正常发芽。试求种子正常发芽的频率。
18.利用素数表求出素数在下面部分自然数列中出现的频率：1~100，101~200，201~300，?，901~1000。
19.把玩耍的骰子掷60次，求6点出现的频率。
20.在俄文报刊中的任一文章中，求出由6个字母组成的单词的频率。 21.在英语文章中，把单词之间的间隔看作是一个“字母”。试在英文报刊中的人一文章中求出间隔的频率。
22.在一张大纸上画上一些彼此相距6㎝的平行线，把这张纸铺在水平面上，并在纸上任意地扔一根4㎝的针200次。在给顶的试验序列中求出针与任一条直线相交的频率。
23.通过询问大学三年级全体学生，确定生日在一年每个月中的频率。
24.使用随机数表中前5列与前10列的随机数，来求数0，1，2，?9的频率分布。
25.两人轮流掷硬币，谁先掷出国会就获胜。把这游戏重复20次，求首先掷硬币那个人获胜的频率。
26.（在直线上的随机游动）在数轴的零点上有一质点（动点），它每秒钟以相等概率或者向左或者向右移动一个单位。如果观察它60秒，试问它有多少时间将位于正半轴上。
提示：为了回答上面提出的问题，要做下列试验：不断地掷硬币60次。如果掷出国徽，意味着点（质点）向右移动一个单位；如果掷出金额，意味着它向左移动一个单位。计算掷多少次硬币后点在正半轴上出现。假定每次掷硬币对应1秒钟，求出质点处在正半轴上的时间。
27.证明：a)
；b)
；c)对于任意的.
28.证明：对于任意的A，成立不等式：
29.对于事件A，B，如果
（在集合包含的意义下0，则事件A称为B的部分事
，
，?，
，
件。证明：如果，则.
37.证明：对于任意的A，B，C，下面的公式成立：
a)
；
.
b)
38.用数学归纳法证明和的概率的一般公式：
39.证明：如果
.
40.如果41．如果独立等价于条件
.
，则数
并且，则
成为在事件A发生的情况下事件B的条件，则
.
，则A与B都是独立的.
，则称A与B独立。证明：如果
与
，
与
，
与
概率。证明如果B与C是互斥事件并且
42．证明：有事件A与B独立可以推出43．证明下述命题：如果A与B互斥并且
.
44．设
，
，?，。证明公式：
.
45．设46．设
，，证明：
。证明：
.
，则：
两两互斥，，并且
.
47．证明：如果，则：
.
48．设，件发生的事件。
49．设
，
，?是无穷事件序列。证明：是给定序列中有无穷个事
，?是无穷事件序列并且。证明：如果，
则（从而）。这表明，序列，，?中只有有限个事件以概率发生（波雷尔——康特立引论）.
50．任意选择一个不超过20的自然数，试问它是5的倍数的概率为多少. 51．任意选择一个不超过20的自然数，试问它是20的因子的概率为多少.
52．任意选择一个两位数。求下列各事件的概率：a)这就是质数；b)这就是合数；c)这即使5的倍数；d)这数与100互质.
53．从一副完整的骨牌中任选一块牌，试问这块牌上点子的和等于5的概率是多少. 54．把从1到15的所有整数用三进位计数制分别写在同样的卡片上，丛冢任意抽出一张卡片。试求所抽到的、用上述写法的数包含：a)不少于两个1；b)至少一个2；c)一个0的概率.
55．箱中有a个白球和b个黑球，丛冢任取一球是白球的概率为多少.
56．箱中有a个白球和b个黑球，从中取出一个球放在一边，这球是白球。然后从箱中再取一个球，问它也是白球的概率为多少.
57．任取一个两位数，试问它的两个数字相同的概率为多少. 58．任意选择一个不超过100的自然数，试问这个数除以8得到的余数2的概率为多少. 59．任意选择一个两位数，试问这数有大于10的质因子的概率为多少.
60．任意选择一个两位数，试问这数是质数并且其两个数字之和等于5的概率为多少. 61．从集{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任选一数q，然后建立方程x2+4x+q=0。试问这方程的根是：a)实数；b)整有理数；c)实无理数的概率为多少.
62．给出长度为2，5，6，10的线段。试问任取3个线段能构成三角形的概率为多少. 63．任意选择一个不超过20的质数。问这数具有下列形式的概率： a) 4x+1；b)4x+3；c)6x+5.
64．从集{1，2，3，?，n}中任选一数，试求它能被一固定自然数k整除的概率，并求这概率当时的极限.
65．从集{1，2，3，?，n}中任选一数a，试求数a2-1能被10整除的概率Pn。并求Pn
当时的极限.
66．从集{1，2，3，?，n}中任选一数a，试求数2a+1能被10整除的概率Pn。并求Pn当时的极限. 67．把一粒玩耍的骰子掷两次并记下两位数，其中是第一次掷出的点数，是第二次掷出的点数。试求所得到的两位数在下列情况下的概率：
a) 两个数字不同；b)两个数字都是奇数；
b) a 68．把一粒玩耍的骰子掷三次，设x是三次掷出的点数之和。问x=12还是x=11的可能性大. 69．从30到39（包括30与39）的自然数中任取一数作为分数的分母。试求成为下列情况的概率： a)有限十进位分数；b)纯循环分数；c)混循环分数. 70．在国际象棋棋盘的任意选择的两格中放上两个不同颜色的象。试问它们相互攻击的