日期 17年3月10日 17年3月12日 17年3月15日 17年3月17日 17年3月19日 17年3月22日 17年3月24日 比赛队 新疆﹣辽宁 新疆﹣辽宁 辽宁﹣新疆 辽宁﹣新疆 辽宁﹣新疆 新疆﹣辽宁 新疆﹣辽宁 主场 新疆 客场 辽宁 比赛时间 20：00 比赛地点 乌鲁木齐 新疆 辽宁 20：00 乌鲁木齐 辽宁 新疆 20：00 本溪 辽宁 新疆 20：00 本溪 辽宁 新疆 20：00 本溪 新疆 辽宁 20：00 乌鲁木齐 新疆 辽宁 20：00 乌鲁木齐 （1）若考虑主场优势，每个队主场获胜的概率均为，客场取胜的概率均为，求辽宁队以比分4：1获胜的概率；
（2）根据以往资料统计，每场比赛组织者可获得门票收入50万元（与主客场无关），若不考虑主客场因素，每个队每场比赛获胜的概率均为，设本次半决赛
中（只考虑这两支队）组织者所获得的门票收入为X，求X的分布列及数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）设“辽宁队以比分4：1获胜”为事件A，“第i场比赛取胜”记作事件Ai，由赛程表可知：
P（A1）=P（A2）=，P（A3）=P（A4）=P（A5）=．利用P（A）=P（+P（
A3A4A5）+P（A1A2
A4A5）+P（A1A2A3
A5）即可得出．
A2A3A4A5）
（2）X的所有可能取值为200，250，300，350．设“辽宁队以4：0取胜”为事件A4，“四川队以4：0取胜”为事件B4；“辽宁队以4：1取胜”为事件A5，“四川队以4：1取胜”为事件B5；“辽宁队以4：2取胜”为事件A6，“四队以4：2取胜”
为事件B6；“辽宁队以4：3取胜”为事件A7，“四川队以4：3取胜”为事件B7；可得P（X=i）=P（Ai）+P（Bi）即可得出．
【解答】解：（1）设“辽宁队以比分4：1获胜”为事件A，“第i场比赛取胜”记作事件Ai，由赛程表可知：
P（A1）=P（A2）=，P（A3）=P（A4）=P（A5）=． 则P（A）=P（=+
=
A2A3A4A5）+P（
+…
A3A4A5）+P（A1A2
+
A4A5）+P（A1A2A3
A5）
（2）X的所有可能取值为200，250，300，350
设“辽宁队以4：0取胜”为事件A4，“四川队以4：0取胜”为事件B4； “辽宁队以4：1取胜”为事件A5，“四川队以4：1取胜”为事件B5； “辽宁队以4：2取胜”为事件A6，“四川队以4：2取胜”为事件B6； “辽宁队以4：3取胜”为事件A7，“四川队以4：3取胜”为事件B7； =P=则P（X=4）（A4）+P（B4）=．
P（X=6）=P（A6）+P（B6）=P（X=7）=P（A7）+P（B7）=∴X的分布列为： X P 200 250 300 350 =．P=P=（X=5）（A5）+P（B5）
=
×
×
=
． ．
E（X）=200×+250×+300×+350×=290.625．…（12分）
【点评】本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列的性质及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）（2017?葫芦岛一模）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）左、右
焦点分别为F1，F2，A（2，0）是椭圆的右顶点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|=3； （1）求椭圆的方程；
NN不同于点A）（2）若直线l与椭圆交于两点M，（M，，若①求证：直线l过定点；并求出定点坐标； ②求直线AT的斜率的取值范围． 【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由a=2，则椭圆的通径丨PQ丨=可取得椭圆的方程；
（2）当直线MN斜率不存在时，将x=m代入椭圆方程，则
=2﹣m，
，代入即可求得b的值，即
?
=0， =
；
即可求得m的值，即可求得直线恒过定点；当斜率存在，设直线方程y=kx+b，代入椭圆方程，由韦达定理，向量的坐标运算，即可求得b=﹣k，或b=﹣2k，即可求得直线方程，则直线过定点（，0）；
（3）利用中点坐标公式求得T坐标，利用直线的斜率公式，kAT=
=
，
分类当k=0，kAT=0，当k≠0时，利用基本不等式的性质，即可求得直线AT的斜率的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知：a=2， 令x=c，代入椭圆方程，解得：y=则b=
，
；…（4分）
，则丨PQ丨=
=3，
∴椭圆的标准方程为：
（2）当直线MN斜率不存在时，设lMN：x=m， 则
，解得：y=
，则丨MN丨=2
，
设直线MN与x轴交于点B，丨丨MB=丨AM丨即=2﹣m，
∴m=或m=2（舍）， ∴直线lMN过定点（，0）；
当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则直线MN：y=kx+b， 与椭圆方程
，联立，消取y整理得（4k2+3）x2+8kbx+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=﹣△＞0，k∈R， ?
，x1x2=，
=0，（x1﹣2，y1）（x2﹣2，y2）=0，
即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2=0，
y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=∴7b2+4k2+16kb=0，则b=﹣k，或b=﹣2k， ∴lMN：y=k（x﹣）或y=k（x﹣2）， ∴直线lMN过定点（，0）或（2，0）； 综合知，直线过定点（，0）；…（8分） （3）T为MN中点，T（
，
），则T（﹣
，
），
，
∴kAT==，
由b=﹣
，则kAT=，
当k=0时，kAT=0， 当k≠0时，k∈R，kAT=
=
，
由8k+≥2或8k+≤﹣2∴kAT∈[﹣
=2，
，
=﹣2，
]，
直线AT的斜率的取值范围为[﹣，]．…（12分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量坐标运算，中点坐标公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．
21．（12分）（2017?葫芦岛一模）已知函数f（x）=ax2+（x﹣1）ex． （1）当a=﹣
时，求f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性； （3）当﹣＜a＜﹣值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）当a=
时，求出f′（x）=﹣（e+1）x+xex，利用导数的几何意义时，f（x）是否存在极值？若存在，求所有极值的和的取
能出f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程．
（2）f′（x）=2ax+xex=x（ex+2a），由此根据a≥0，﹣＜a＜0，a=﹣，a＜﹣，利用导数性质能讨论f（x）的单调性．
（3）推导出x1=ln（﹣2a）为极大值点，x2=0为极小值点，所有极值的和即为f（x1）+f（x2），f（x1）+f（x2）=ax12+（x1﹣1）出所有极值的和的取值范围． 【解答】（本题满分12分） 解：（1）当a=∴f（1）=
，
时，f（x）=
x2+（x﹣1）ex，
﹣1，由此利用导性质能求
f′（x）=﹣（e+1）x+xex，∴f′（1）=﹣1