（2）当x?0时， F(x)??x??xf(t)dt?0 f(t)dt??2tdt?x2 0x 当0?x?1时， F(x)?? 当x?1时， F(x)????x??f(t)dt??2tdt?1
01?0, x?0? 故 F(x)??x2, 0?x?1 ?1, x?1? (3) P（1/2 0?x?2 ?kx?1, f(x)?? 0, 其它? 求（1）k ；（2）分布函数F (x)； （3）P (1.5 2k2f(x)dx??(kx?1)dx?(x2?x)|0?2k?2?1 ??0解： 2 k??1/2 x（2）当x?0时， F(x)??f(t)dt?0 (1) ?????x 当0?x?2时， F(x)?? 当x?2时， F(x)????x2f(t)dt??(?0.5t?1)dt???x 04xx??f(t)dt?1 ?0, x?0?2?x 故 F(x)????x, 0?x?2 ?4??1, x?2(3) P（1.5 四（3）、已知连续型随机变量X的概率密度为 ? 0?x?1?ax, f(x)?? ? 其它?0, 求（1）a；（2）X的分布函数F (x)；（3）P ( X >0.25)。 12f(x)dx??axdx?a?1 ??0解： 3 a?3/2 x（2）当x?0时， F(x)??f(t)dt?0 (1) ?????x 当0?x?1时， F(x)?? 当x?1时， F(x)????f(t)dt??302xtdt?x3/2 x??f(t)dt?1 ?0, x?0? 故 F(x)??x3/2 , 0?x?1 ?1, x?1?(3) P（X>1/4）=1—F(1/4)=7/8 第11页，共27页 四（4）、已知连续型随机变量X的概率密度为 x?(0,A)?2x, f(x)?? 其它?0, 求（1）A；（2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X <1)。 ） 解： (1) ?????f(x)dx??2xdx?A2?1 0xA A?1 （2）当x?0时， F(x)????xf(t)dt?0 f(t)dt??2tdt?x2 0x 当0?x?1时， F(x)?? 当x?1时， F(x)????x??f(t)dt?1 ?0, x?0? 故 F(x)??x2, 0?x?1 ?1, x?1?(3) P（-0.5 ?c, x?1?2f(x)??1?x ?0, 其它?求（1）c； （2）分布函数F (x)；（3） P (-0.5 < X < 0.5)。 解： (1) ???1-x2 c?1/? ???1f(x)dx?? 1cdx?carcsinx|1?1?c??1 x （2）当x??1时， F(x)????xf(t)dt?0 f(t)dt??x 当?1?x?1时， F(x)?? ?11???1?1?t2dt?1?xarcsint|?1 ?(arcsinx?x???2 ) 当x?1时， F(x)??f(t)dt?1 ?0, x??1?1?? 故 F(x)??(arcsinx? ), －1?x?1 2????1, x?1(3) P（-0.5 四（6）、已知连续型随机变量X的分布函数为 x??2?F(x)??A?Be, x?0 ? 其它?0, 2求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (1 第12页，共27页 (1) lim F(x)?A?1 x??? F(x)?A?B?0解： lim?x?0 B??1 （2） ??xe?x/2, x?0 f(x)? F?(x)?? ??0, x?0?1/2?e?2 (3) P（1 F(x)?A?Barctanx 求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (1 2(1) lim F(x)?A?x????2B?1 B?0 解： lim F(x)?A?x????2 A?1/2, B?1/? （2） 1? f(x)? F(x)? ?(1?x2)1(3) P（0 ? x?0?0, ?F(x)??Ax, 0?x?1 ?1, x?1?四（8）、已知连续型随机变量X的分布函数为 求（1）A； （2）密度函数f (x)；（3）P (0< X< 0.25 )。 （2）解： (1) lim F(x)?A?1 x?1?1 , 0?x?1? A?1 f(x)? F?(x)??2x?0, 其他?(3) P（0 四（9）、已知连续型随机变量X的分布函数为 A? x?2?1?2, F(x)??x? x?2?0, 求（1）A； （2）密度函数f (x)；（3）P (0 ≤ X ≤ 4 )。 （2）、解： (1) lim F(x)?1?A/4?0 x?2?8 ?3, x?2 A?4 f(x)? F?(x)??x??0, x?2(3) P（0 四（10）、已知连续型随机变量X的密度函数为 第13页，共27页 ?2x?, x?(0,a) f(x)???2?0, 其它?求（1）a； （2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X < 0.5 )。 （2）当x?0时， F(x)??f(t)dt?0 ??x??a2xx(1) ?f(x)dx?? 2dx?1 当x??时， F(x)???0?解：???f(t)dt?1 a?? ?0, x?0?2?x 故 F(x)??2, 0?x?? ????1, x??1(3) P（-0.5 2tx2 当0?x??时， F(x)??f(t)dt??2dt?2 ??0??xx统L的寿命Z的密度函数。 解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Z＝max (X, Y)。 显然，当z≤0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (max (X, Y)≤z)＝0； 当z>0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (max (X, Y)≤z) ＝P (X≤z, Y≤z)＝P (X≤z)P (Y≤z)＝ ??e0z??xdx??e??ydy＝(1?e??z)(1?e??z)。 0z因此，系统L的寿命Z的密度函数为 ??e??z??e??z?(???)e?(???)z, z?0df Z (z)＝ FZ(z)??dz0, z?0?五（2）、已知随机变量X～N（0，1），求随机变量Y＝X 的密度函数。 2 解：当y≤0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (X ≤y)＝0； 当y>0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (X ≤y)＝P(?y?X?2 2 y) ＝ ?y12??ye?x2/2dx?2?y12?0e?x2/2dx ?e?y/2, y?0,d?因此，f Y (y)＝ FY(y)??2? ydy?0, y?0. ?五（3）、设系统L由两个相互独立的子系统L1、L2串联而成，且L1、L2的寿命分别服从参数为?,?(???)的指数分布。求 系统L的寿命Z的密度函数。 解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Z＝min (X, Y)。 显然，当z≤0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (min (X, Y)≤z)＝0； 当z>0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (min (X, Y)≤z)＝1－P (min (X, Y)>z) ＝1－P (X>z, Y>z)＝1－P (X>z)P (Y>z)＝1?因此，系统L的寿命Z的密度函数为 ???z?e??xdx??e??ydy＝1?e?(???)z。 z????(???)e?(???)z, z?0df Z (z)＝ FZ(z)??dz z?0?0, 第14页，共27页 五（4）、已知随机变量X～N（0，1），求Y＝|X|的密度函数。 解：当y≤0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (|X |≤y)＝0； 当y>0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (|X |≤y)＝P(?y?X?y) 2?2??2?y2/2 y?0,d?e因此，f Y (y)＝ FY(y)???dy?0, y?0. ??y?0 ＝ ?y1e?x2/2dx?2?y1e?x2/2dx 五（5）、设随机向量（X，Y）联合密度为 ?Ae?(2x?3y), x?0,y?0 ;f(x, y)= ? 其它.?0, （1） 求系数A； （2） 判断X，Y是否独立，并说明理由； （3） 求P{ 0≤X≤2，0≤Y≤1}。 解：（1）由1＝ ??????????f(x,y)dxdy????0???0Ae?(2x?3y)dxdy?A?e0???2xdx??e0???3y1dy＝A(?e?2x2??01)(?e?3y3??)?0A, 6 可得A＝6。 （2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为 ?2e?2x, x?0 ;?3e?3y, y?0 ;fX (x)＝? 和 fY (y)＝ ? ， 其它. 其它.?0, ?0, 则对于任意的(x,y)?R2, 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X与Y独立。 （3）P{ 0≤X≤2，0≤Y≤1}＝ ＝(?e?2x2010??6e0021?(2x?3y)dxdy??2e02?2xdx??3e?3ydy 01)(?e?3y)?(1?e?4)(1?e?3). 五（6）、设随机向量（X，Y）联合密度为 ?Ae?(3x?4y), x?0,y?0 ;f (x, y)= ? 0, 其它.?（1） 求系数A； （2） 判断X，Y是否独立，并说明理由； （3） 求P{ 0≤X≤1，0≤Y≤1}。 解：（1）由1＝ ??????????f(x,y)dxdy??????0?0??0Ae?(3x?4y)dxdy?A?e0???3xdx??e?4ydy 0??1 ＝A(?e?3x301)(?e?4y4??)?A, 可得A＝12。 12 （2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为 ?3e?3x, x?0 ;?4e?4y, y?0 ;fX (x)＝? 和 fY (y)＝ ? ， 其它. 其它.?0, ?0, 2则对于任意的(x,y)?R, 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X与Y独立。 （3）P{ 0≤X≤1，0≤Y≤1}＝ ＝(?e?3x10??12e0011?(3x?4y)dxdy??3e0???3xdx??4e?4ydy 0??)(?e?4y10)?(1?e?3)(1?e?4). 五（7）、设随机向量（X，Y）联合密度为 第15页，共27页