?6x, 0?x?y?1 ;f(x, y)= ?
0, 其它.?
（1） 求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；
（2） 判断X，Y是否独立，并说明理由。
解：（1）当x<0或x>1时，fX (x)＝0；
当0≤x≤1时，fX (x)＝
?????f(x,y)dy??6xdy?6x(1?x).
x1?6x?6x2, 0?x?1,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝?
0, 其它.?当y<0或y>1时，fY (y)＝0； 当0≤y≤1时，fY (y)＝
?????yf(x,y)dx??6xdx?3x2|0?3y2.
0y?3y2, 0?y?1,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝?
其它.?0, （2）因为f (1/2, 1/2)＝3/2，而fX (1/2) fY (1/2)＝(3/2)*(3/4)＝9/8≠f (1/2, 1/2)，
所以，X与Y不独立。 五（8）、设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为
?e?y, 0?x?y ;f (x, y)=?
0, 其它.?（1） 求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；
（2） 判断X与Y是否相互独立，并说明理由。 解：（1）当x≤0时，fX (x)＝0；
当x>0时，fX (x)＝
?????f(x,y)dy??e?ydy?e?x.
x???e?x, x?0,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝?
其它.?0, 当y≤0时，fY (y)＝0； 当y>0时，fY (y)＝
?????f(x,y)dx??e?ydx?ye?y.
0y?ye?y, y?0,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝?
0, 其它.? （2）因为f (1, 2)＝e，而fX (1) fY (2)＝e*2e＝2 e≠f (1, 2)，
所以，X与Y不独立。 五（9）、设随机变量X的概率密度为
-2
-1
-2
-3
?e?x,x?0f(x)??
0,其它?设F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F(X)的密度函数。
解：当y<0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (F(X )≤y)＝0；
当y>1时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (F(X )≤y)＝1；
当0≤y≤1时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P ((F(X )≤y)＝P(X?F(y)) ＝F(F(y))?y
?1?10?y?1,?1, d因此，f Y (y)＝ FY(y)??dy0, 其它. ?第16页，共27页
五（10）、设随机向量（X，Y）联合密度为
f(x, y)= ??8xy, 0?x?y?1 ;
其它.?0,
（1）求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；
（2）判断X，Y是否独立，并说明理由。
解：（1）当x<0或x>1时，fX (x)＝0；
当0≤x≤1时，fX (x)＝
?????2f(x,y)dy??8xydy?4x?y2|1x?4x(1?x).
x1?4x?4x3, 0?x?1,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝?
0, 其它.?当y<0或y>1时，fY (y)＝0； 当0≤y≤1时，fY (y)＝
?????yf(x,y)dx??8xydx?4y?x2|0?4y3.
0y?4y3, 0?y?1,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝?
其它.?0, （2）因为f (1/2, 1/2)＝2，而fX (1/2) fY (1/2)＝(3/2)*(1/2)＝3/4≠f (1/2, 1/2)，
所以，X与Y不独立。
?7 6?六（1）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??
6 9??求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=7+9+2*6=28
D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=7+9-2*6=4 Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =7-9= -2
?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)??228*4??128
??28 -2??1 所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?-2 4???-1-1?28?? ? 1???28??9 2?六（2）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??
2 1??求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+1+2*2=14
D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+1-2*2=6 Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =9-1=8
?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?814*6?421
4???14 8?1 ?21?所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?? 8 6???4? 1??21??? 9 －6?六（3）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??
－6 6??第17页，共27页
求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+6-2*(-6)=27
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+6+2*(-6)=3 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =9-6= 3
?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?1?
27*3331???27 3?1 3? 所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ????3 3??1 1????3? 4 －5?六（4）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??－5 9??
求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=4+9-2*(-5)=23
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=4+9+2*(-5)=3 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =4-9= -5
??Y,X?Y)?55X?Y,X?Y?Cov(XD(X?Y)D(X?Y)?23*3??69
?23 -5??所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ??1 ?-5 13?? 和 ???-5?69? 1 －1?六（5）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??－1 4??
求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=1+4-2*(-1)= 7
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=1+4+2*(-1)=3 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =1-4= -3
?X?Y,X?Y)?3?3X?Y,X?Y?Cov(D(X?Y)D(X?Y)?7*3?21
??7 -3??所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?1 ?-3 3?? 和 ???-3?21 1?4 1?六（6）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??1 25??
求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=4+25+2*1=31
D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=4+25-2*1=27 Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =4-25= -21
?(X?Y,X?Y)?21X?Y,X?Y?CovD(X?Y)D(X?Y)?31*27??793
第18页，共27页
?-5?69?????-3?21?? ??? 1??31 -21??1 所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为?? 和 ?-21 27???-7-7?93?? ? 1???93??5 2?六（7）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??
2 4??求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=5+4+2*2=13
D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=5+4-2*2=5 Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =5-4=1
?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?113*5?165
??13 1??1 所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为?? 和 ?1 5???11?65?? ? 1???65?? 9 －2?六（8）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??
－2 4??求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+4-2*(-2)= 17
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+4+2*(-2)=9 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =9-4= 5
?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?517*9?5153
??17 5??1 所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为?? 和 ?5 9???55?153??
? 1???153?? 4 －3?六（9）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??
?－3 9?求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y) = 4+9-2*(-3)= 19
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y) = 4+9+2*(-3)=7 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =4-9= -5
?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)??519*7??5133
??19 -5??1 所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?-5 7???-5-5?133??
? 1???133??9 3?六（10）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??
3 4??第19页，共27页
求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+4-2*3= 7
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+4+2*3=19 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =9-4= 5
?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?57*19?5133
??7 5?1 所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ???5 19??55?133??
? 1???133? 七（1）、设总体X的概率密度函数是
??x??1, 0?x?1 f(x;a)???0, 其它其中??0为未知参数。x1, x2, ?, xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。
解：似然函数L???xii?1n??1???xii?1nn??1 lnL?nln??(??1)?lnx
ii?1ndlnLnn??? ???lnxi?0 ?d??i?1 七（2）、设总体X的概率密度函数是
n?lnxi?1n
i???1（）x? 0?x?1 f(x;a)???0 其它x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。
解：似然函数L??(??1)xi?(??1)?xi lnL?nln(??1)??i?1i?1n?nn??lnx
ii?1nndlnLn??? ???lnxi?0 ?d???1i?1n?lnxi?1n?1
i七（3）、设总体X的概率密度函数是
?2?xexp{??x2}, x?0 f(x)???0, 其它?>0为未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。
解：似然函数L??(2?xiexp{??xi})?(2i?1n2nnnn2nni?1i?1i?1i?1??xiexp{???xi}) lnL?nln(2?)??lnxi???xi2
ndlnLnn2?? ???xi?0 ?d??i?1 七（4）、设总体的概率密度函数是
?xi?1n
2i?3?x2exp{??x3}, x?0 f(x)???0, 其它第20页，共27页