其中?>0是未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。 解：似然函数L??(3?xexp{??xi})?(3i?1n2i3nnn2n3n2ni?1??xiexp{???xi}) lnL?nln(3?)??lnxi???xi3
i?1i?1i?1dlnLnn3?? ???xi?0 ?d??i?1n?xi?1n
3i 七（5）、设总体X服从参数为?的泊松分布P(?)?n?xx!e??（x=0，1， ?），其中??0为未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一
组样本值，求参数?的最大似然估计。 解：似然函数L??n?xixi!ni?1e????n?xii?1e?n? lnL?n?xi!i?1?xln???ln(x!)?n?
iii?1i?1innxidlnL????i?1?n?0 ?
d??
?xi?1n?x
七（6）、设总体X的概率分布为P{X= x}=px(1-p)1-x,x?0,1。 设x1,x2,x3,?,xn为总体X的一组简单随机样本，试用最大似然估计法求p的估计值。
nxi1?xinn????解：L??p?1?p? lnL???xi?lnp??n??xi?ln?1?p?
i?1i?1?i?1???n1ndlnL?n?1??1???xi?x ???xi???n??xi??0 pi?1i?1ni?1dp??p??1?p1 七（7）、设总体X服从参数为的指数分布，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。
?1xi?1?1n?1???i??1?解： L??e lnL?nln????xi ???ei?1??????i?1??dlnLn1n1n????2?xi?0 ???xi?x
d???i?1ni?1 七（8）、设总体X服从参数为?的指数分布，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。
n11?xinn解：似然函数
L???ei?1nn??xi??exin??i??1n lnL?nln????xi
i?1ndlnLnn??n?1 ???xi?0 ?nd??i?1?xixi?1七（9）、设总体X的概率密度函数是
(x??)21?12f(x;?)?e, ???x???
2?x1,x2,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计？
解：似然函数
?xi???21?1 L??e2?i?12?n?n1n2??1n2lnL??ln2???(x??) exp??x????????iini?1i?122?2?2?1?第21页，共27页
1ndlnLn???(xi??)?0 ???xi?x
ni?1d?i?1七（10）、设总体X的概率密度函数是
f(x;?)?1e2???x22?, ???x???
x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计？
解：似然函数
1n L??()ei?12??n?xi22???nn1n2?1n2??xi exp???xi? lnL??ln?2???ln??nii?1222??1?2??2??1?dlnLn1n21n2????2?xi ???xi
d?2?2?i?1ni?1
八（1）、从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）：
6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0
设零件长度X服从正态分布N (μ,1)。求μ的置信度为(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 ) 、解：由于零件的长度服从正态分布,所以U?所以?的置信区间为(x?u0.0250.95的置信区间。
x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95
?/n919) 经计算 x??xi?6 ni?11 ?的置信度为0.95的置信区间为 (6?1.96?1 即(5.347，6.653) 3,6?1.96?3)八（2）、某车间生产滚珠，其直径X ～N (?, 0.05)，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米 ）：
n,x?u0.02514.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 14.8 15.0 14.7
若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径?的置信度为0.95的置信区间。
??(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )
x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95 解：由于滚珠的直径X服从正态分布,所以U??/n9??,x?u0.025) 经计算 x?1所以?的置信区间为：(x?u0.025 9?xi?14.911nni?1 ?的置信度为0.95的置信区间为
(14.911?1.96?0.053,14.911?1.96?0.053) 即(14.765，15.057)
八（3）、工厂生产一种零件,其口径X(单位:毫米)服从正态分布N(?,?2),现从某日生产的零件中随机抽出9个,分别测得其口径如下:
14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.7
已知零件口径X的标准差??0.15，求?的置信度为0.95的置信区间。
(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )
x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95 解：由于零件的口径服从正态分布,所以U??/n9??1,x?u0.025) 经计算 x?9?xi?14.9 所以?的置信区间为：(x?u0.025nni?10.150.15 ? 的置信度为0.95的置信区间为 (14.9?1.96?3,14.9?1.96?3) 即(14.802 ,14.998)
八（4）、随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=3(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮
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口速度的方差?的置信度为0.95的置信区间。
2
(已知：?0.0252(8)?17.535, ?0.9752(8)?2.18；?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)
因为炮口速度服从正态分布，所以
W?2
(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95
?(n?1)S2(n?1)S2??的置信区间为：???2?n?1?,?2?n?1???
0.975?0.025??8?98?9??2的置信度0.95的置信区间为 ?,? 即?4.106,33.028?
17.5352.180??八（5）、设某校女生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽取9名女生，测得数据经计算如下：
x?162.67cm, s?4.20cm。求该校女生身高方差?2的置信度为0.95的置信区间。
(已知：?0.0252(8)?17.535, ?0.9752(8)?2.18；?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)
解：因为学生身高服从正态分布，所以
W?2
(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95
?(n?1)S2?8?4.228?4.22?(n?1)S2?2
?的置信区间为：???2?n?1?,?2?n?1??? ?的置信度0.95的置信区间为 ?17.535,2.180? 即
0.975???0.025??8.048,64.734? 八（6）、一批螺丝钉中,随机抽取9个, 测得数据经计算如下：x?16.10cm, s?2.10cm。设螺丝钉的长度服从正态分布，
试求该批螺丝钉长度方差?的置信度为0.95的置信区间。
2
(已知：?0.0252(8)?17.535, ?0.9752(8)?2.18；?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)
解：因为螺丝钉的长度服从正态分布，所以
W?2
(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95
?(n?1)S2(n?1)S2??的置信区间为：???2?n?1?,?2?n?1???
0.975?0.025?2?8?2.1028?2.102??的置信度0.95的置信区间为 ?,? 即?2.012,16.183?
17.5352.180??2八（7）、从水平锻造机的一大批产品随机地抽取20件，测得其尺寸 的平均值x?32.58，样本方差S?0.097。假定该产
222品的尺寸X服从正态分布N(?,?),其中?与?均未知。求?的置信度为0.95的置信区间。
由于该产品的尺寸服从正态(已知：?0.0252(20)?34.17, ?0.9752(20)?9.591；?0.0252(19)?32.852, ?0.9752(19)?8.907)解：
分布，所以
W?2
(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(19)?W??0.9752(19)}?0.95
?(n?1)S2(n?1)S2??的置信区间为：???2?n?1?,?2?n?1???
0.975?0.025??19?0.09719?0.097??2的置信度0.95的置信区间为 ?,? 即?0.056,0.207?
8.907??32.85222八（8）、已知某批铜丝的抗拉强度X服从正态分布N(?,?)。从中随机抽取9根，经计算得其标准差为8.069。求?的置
信度为0.95的置信区间。
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2222（已知：?0.025(9)?19.023, ?0.975(9)?2.7，?0.025(8)?17.535, ?0.975(8)?2.180）
解：由于抗拉强度服从正态分布所以，
W?2
(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95
(n?1)S2(n?1)S2?的置信区间为：(2,2)
?0.025?n?1??0.975?n?1??8?8.06928?8.0692??的置信度为0.95的置信区间为?,? ，即 ?29.705,238.931?
2.180??17.5352八（9）、设总体X ～N(?,?2)，从中抽取容量为16的一个样本，样本方差S?0.07，试求总体方差的置信度为0.95的置
2信区间。
(已知：?0.0252(16)?28.845, ?0.9752(16)?6.908；?0.0252(15)?27.488, ?0.9752(15)?6.262)解：由于 X～N??,?2?，所以
?2(n?1)S2(n?1)S22?的置信区间为：(2,2)
?0.025?n?1??0.975n?1??W?(n?1)S2~?2(n?1) P{?0.0252(15)?W??0.9752(15)}?0.95
?15?0.0715?0.07??2的置信度0.95的置信区间为 ?,?，即?0.038,0.168?
?27.4886.262?22
八（10）、某岩石密度的测量误差X服从正态分布N(?,?2)，取样本观测值16个，得样本方差S?0.04，试求?的置信度
为95%的置信区间。
(已知：?0.0252(16)?28.845, ?0.9752(16)?6.908；?0.0252(15)?27.488, ?0.9752(15)?6.262)解：由于 X ~ N??,?2?，所
以
W?2
(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(15)?W??0.9752(15)}?0.95
(n?1)S2(n?1)S2?的置信区间为：(2,2)
?0.025?n?1??0.975n?1???15?0.0415?0.04??2的置信度0.95的置信区间为：?,? 即?0.022,0.096?
?27.4886.262?九（1）、某厂生产铜丝，生产一向稳定,现从其产品中随机抽取10段检查其折断力，测得
x?287.5, ?(xi?x)2?160.5。
i?110假定铜丝的折断力服从正态分布，问在显著水平??0.1下，是否可以相信该厂生产的铜丝折断力的方差为16？
(已知：?0.052(10)?18.31, ?0.952(10)?3.94; ?0.052(9)?16.9, ?0.952(9)?3.33)
解：待检验的假设是 H0:??16 选择统计量 W?2(n?1)S2?2 在H0成立时 W~?2(9)
P{?20.05(9)?W??20.95(9)}?0.90
取拒绝域w ={W?16.92,W?3.33}
160.52?10.03 16.92?10.03?3.33 由样本数据知(n?1)S?160.5 W?16 接受H0，即可相信这批铜丝折断力的方差为16。
九（2）、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布，其方差为0.03。在某段时间抽测了10炉铁水，测得铁水含碳量的样本方差为0.0375。试问在显著水平??0.05下，这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异?
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(已知：?0.0252(10)?20.48, ?0.9752(10)?3.25, ?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)
解：待检验的假设是 H0:??0.03 选择统计量 W?2(n?1)S2?2 在H0成立时 W~?2(9)
P{?20.025(9)?W??20.975(9)}?0.95
取拒绝域w ={W?19.023,W?2.700}
由样本数据知 W?9?0.0375?11.25
?20.0319.023?11.25?2.700
?(n?1)S2 接受H0，即可相信这批铁水的含碳量与正常情况下的方差无显著差异。
九（3）、某厂加工一种零件，已知在正常的情况其长度服从正态分布N(?,0.92)，现从一批产品中抽测20个样本，测得样本标准差S=1.2。问在显著水平??0.1下，该批产品的标准差是否有显著差异？
(已知：?0.052(19)?30.14, ?0.952(19)?10.12；?0.052(20)?31.41, ?0.952(20)?10.85)
解：待检验的假设是 H0:??0.9 选择统计量 W?(n?1)S2?2 在H0成立时 W~?2(19)
P{?20.05(19)?W??20.95(19)}?0.90
取拒绝域w ={W?30.114,W?10.117}
由样本数据知 W?(n?1)S2?219?1.22??33.778 33.778?30.114 20.9 拒绝H0，即认为这批产品的标准差有显著差异。
九（4）、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布N(4.55,0.112)。现抽测了9炉铁水,算得铁水含碳
22量的平均值x?4.445，若总体方差没有显著差异，即??0.11，问在??0.05显著性水平下，总体均值有无显著差异? (已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )
解：待检验的假设是 H0:??4.55 选择统计量 U?X?? 在H0成立时 U~N(0,1)
?/nP{|U|?u0.025}?0.05 取拒绝域w={|U|?1.960}
由样本数据知 U?X??4.445?4.55??2.864 U?1.960 拒绝H0，即认为总体均值有显著差
0.11/3?/n22异。
九（5）、已知某味精厂袋装味精的重量X ～N(?,?)，其中?=15，??0.09，技术革新后，改用新机器包装。抽查9个
样品，测定重量为（单位：克）
14.7 15.1 14.8 15.0 15.3 14.9 15.2 14.6 15.1
已知方差不变。问在??0.05显著性水平下，新机器包装的平均重量是否仍为15？ (已知：t0.05(15)=2.131, t0.05(14)=2.145, U0.025?1.960 ) 解：待检验的假设是 H0:??15 选择统计量 U?X?? 在H0成立时 U~N(0,1)
?/nP{|U|?u0.025}?0.05 取拒绝域w={|U|?1.960}
19经计算 x??xi?14.967 U?i?19X??14.967?15??0.33 U?1.960
0.3/3?/n 接受H0，即可以认为袋装的平均重量仍为15克。
九（6）、某手表厂生产的男表表壳在正常情况下，其直径(单位:mm)服从正态分布N(20, 1)。在某天的生产过程中，随机抽查
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