★例42. (2008年江西高考试题)已知函数正数a,证明：1?f?x??2． 解析:对任意给定的a?0,x?0,由
f(x)?f?x??11?x?11?a?axax?8,x??0,???.对任意
,
11?x?11?a?11?8ax 若令
b?8ax，则
abx?8① ,而
11?xf?x??11?x11?x?11?a?11?b②
11?b11?b（一）、先证f?x??1；因为又由
?，11?a?11?a，?， ．
2?a?b?x?22a?2bx?442abx?8
11?x?11?a?11?b?11?x?11?a?11?b，得
?a?b?x?6所以f?x???3?2(a?b?x)?(ab?ax?bx)(1?x)(1?a)(1?b)?1．
9?(a?b?x)?(ab?ax?bx)(1?x)(1?a)(1?b)?1?(a?b?x)?(ab?ax?bx)?abx(1?x)(1?a)(1?b)（二）、再证f?x??2；由①、②式中关于x,a,b的对称性，不妨设x?a?b．则0?b?2 （ⅰ）、当a?b?7，则a?5，所以x?a?5，因为
11?x11?a21?511?b?1，
???1，此时f?x??8ab11?x11?x?11?aabab?8?11?b?2．
（ⅱ）、当a?b?7③，由①得 ,x?因为
同理得今证明 只要证
11?b11?a，
b2?(1b?，
11?bb2(1?b)?1?b1?ba?b224(1?b)?[1?2] 所以
)?1?④ ⑥
?1?⑤ ，于是
abab?82(1?a)f?x??2?a1?a1?ab??2??2?1?a1?b??ab?8??aba1?a?b1?b?2⑦, 因为
，即
8?b1?b?2ab(1?a)(1?b) ，
ab?(1?a)(?1b)ab?ab，此ab?8?(1?a)(1?b)，也即 a?b?7，据③
为显然．
因此⑦得证．故由⑥得
f(x)?2．
综上所述，对任何正数a,x，皆有1?f?x??2．
例43.求证:1?1n?11n?1?1n?21n?2???13n?113n?1?2
解析:一方面:(法二)
1n?11n?2?????1?11?12???????12?34?24????13n?1?1??11??11?1???1????????????????2??n?13n?1??n?23n??3n?1n?1???? 1?4n?24n?24n?2?????????2?(3n?1)(n?1)3n(n?2)(n?1)(3n?1)?
??111(2n?1) ???2n?1?????????1222222?2?(2n?1)?(n?1)(2n?1)?n?(2n?1)?(2n?1)?n2 另一方面:
1n?1?1n?2???13n?1?2n?1n?1?2n?2n?1?2
十、二项放缩
2n?(1?1)n1?Cn?Cn???Cn,2n?Cn0?Cn?n?1,
01n2?Cn0n?C1n?C2n?n2?n?22
12n?n(n?1)(n?2)
例44. 已知a1?1,an?1?(1?n?n2)an?12n.证明a1n?e2
1n(n?1))(an?1)? 解析:
an?1?(1?11n(n?1))?)an?1.n(n?1)?an?1?1?(1?
ln(an?1?1)?ln(an?1)?ln(1?n?1n(n?1)n?1n(n?1)??[ln(ai?1?1)?ln(ai?1)]?i?2?i?21i(i?1)?ln(an?1)?ln(a2?1)?1?1n?1，
即ln(an?1)?1?ln3?an?3e?1?e.
2 例45.设an?(1?1n)n，求证：数列{a}单调递增且ann?4.
?(n?1)b(b?a)n 解析: 引入一个结论：若b?a?0则bn?1?an?1n?1（证略）
整理上式得an?1?bn[(n?1)a?nb].（?） 以a?1?1,b?1?1代入（?）式得(1?1)n?1nn?1?(1?1n).n
即{an}单调递增。 以a?1,b?1?12n代入（?）式得1?(1?12n)?n12?(1?12n)2n?4.
，又因为数列{an}单调
此式对一切正整数n都成立，即对一切偶数有(1?1)nn?4递增，所以对一切正整数n有(1?1n)n?4n。
注：①上述不等式可加强为2?(1?1n)?3.简证如下：
利用二项展开式进行部分放缩：an 只取前两项有aCnkn?(1?1n)n?1?Cn?11n?Cn?21n2???Cnn1nn.
?2.对通项作如下放缩：
n11nn?1n?k?1111 ????????.kk?1k!nnnk!1?2?2n2?1?Cn?11 故有an?1?1?12?122???12n?111?(1/2)?2??21?1/2n?1?3.
②上述数列{an}的极限存在，为无理数e；同时是下述试题的背景： 已知i,m,n是正整数，且
(1?m)?(1?n).（01
nm1?i?m?n.（1）证明
1nAm?mAniiii；（2）证明
年全国卷理科第20题）
}:bn?(1?n)nn1m 简析 对第（2）问：用1/n代替n得数列{b1是递减数列；借鉴此结论可
1有如下简捷证法：数列{(1?n)n}递减，且1?i?m?n,故(1?m)?(1?n)n,即(1?m)n?(1?n)m。
当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解
决！详见文[1]。
例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证：an?bn?21?n.
解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为a,1,b成等差数列，设a?212?d,b?12?d，
从而
a?bnn?1??1?1?n???d????d??222????nn
8(n?1)(n?2)n 例47.设n?1,n?N，求证(2)n33?.
12)n解析: 观察(2)n的结构，注意到(3)2?(1?，展开得
n(n?1)8?(n?1)(n?2)?68(1?12)n?1?Cn?112?Cn?2122?Cn?3123???1?n2?，
即(1?1)2n?(n?1)(n?2)8，得证.
12nln2n 例48.求证:ln3?ln2?ln(1?n)?.
解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)
例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数y?f(x),x?N*,y?N*，满足： ①对任意a,b?N*,a?b，都有af(a)?bf(b)?af(b)?bf(a)；
②对任意n?N都有
*f[f(n)]?3n.
（I）试证明：f(x)为N*上的单调增函数； （II）求
f(1)?f(6)?f(28)；
?f(3),n?Nn*（III）令an，试证明：.
n4n?2≤1a1?1a2???1an?14
解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.
(1)运用抽象函数的性质判断单调性:
因为af(a)?bf(b)?af(b)?bf(a),所以可以得到(a?b)f(a)?(a?b)f(b)?0, 也就是(a?b)(f(a)?*
f(b))?0,不妨设a?b,所以,可以得到f(a)?f(b),也就是说
f(x)为N上的单调增函数.
(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!
首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!
由(1)可知(a?b)(f(a)?f(b))?0,令bf(1)?N*,所以可以得到f(1)?2
?1,a?f(1),则可以得到
(f(x)?1)(f(f(1))?f(1))?0,又f(f(1))?3,所以由不等式可以得到1?f(1)?3,又
①
f[f(3)]?9 接下来要运用迭代的思想:
因为f(1)?2,所以f(2)?f[f(1)]?3,f(3)?f[f(2)]?6,f(6)? f(9)?f[f(6)]?18,f(18)?f[f(9)]?27,f(27)?f[f(18)]?54, 在此比较有技巧的方法就是:
81?54?27?54?27,所以可以判断f(28)?55 ③
②
f(54)?f[f(27)]?81 当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项
数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.
所以,综合①②③有f(1)?f(6)?f(28)=55?9?2?66
(3)在解决{an}的通项公式时也会遇到困难.
f[f(3)]?3nn?1,f(3n?1)?f{f[f(3)]}?3f(3),?an?1?3an,所以数列an?f(3n),n?N*的方
nn程为an?2?3n,从而
1141a1?1a2???1an?14(1?13n),
一方面14(1?13n3)?n14,另一方面3n12n?1)?1??(1?2)?Cn?2?Cn?2?2n?1
n0011 所以14(1?)?(1?2n42n?1?n4n?2,所以,综上有
n4n?2≤1a1?1a2???1an?14.
例49. 已知函数f?x?的定义域为[0,1]，且满足下列条件： ① 对于任意x?[0,1]，总有f?x??3，且f?1??4； ② 若x?0,x2?0,x1?x2?1,1则有f?x1?x2??f?x1??f(x2)?3.
（Ⅰ）求f?0?的值；
（Ⅱ）求证：f?x?≤4； （Ⅲ）当x?(1,3n13n?1](n?1,2,3,???)时，试证明：f(x)?3x?3.
解析: （Ⅰ）解：令x1?x2?0，
由①对于任意x?[0,1]，总有f?x??3， ∴f(0)?3
又由②得f(0)?2f(0)?3,即f(0)?3; ∴f(0) .?3 （Ⅱ）解：任取x1,x2?[0,1],且设x1?x2, 则
f(x)?22f[1x?(2x?1x)]?f(1x?)f(x?21 x?)3, 因为x1?x1?0，所以f(x2?x1)?3，即f(x2?x1)?3?0,
2 ∴f(x)?f(x). ∴当x?[0,1]时，f(x)?f(1)?4.
13)?n?113n?1（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：f(（1） 当n=1时，f(1)?30?3(n?N*)130
f(1)?4?1?3??3，不等式成立；
（2） 假设当n=k时，f(由f(
13k?113k?1)?13k?1?3(k?N*)
)?3)?f[13k?(13k?13k)]?f(13k)?f(13k?13k
?f(13k)?f(13k)?f(13k)?6
得3f(1)?3kf(13k?1)?6?13k?1?9.
即当n=k+1时，不等式成立 由（1）、（2）可知，不等式f(于是，当x?(13,13n?113n?1)?13n?1?3对一切正整数都成立.
13nn](n?1,2,3,???)时，3x?3?3??3?13n?1?3?f(13n?1)，
而x?[0,1]，f?x?单调递增 ∴f(1)?3nf(13n?1) 所以，f(x)??1,ai?0
an?1an?1?an21f(n?13)?3x? 3 .
例50. 已知：a1?a2???an 求证：
a12
(i?1,2?n)
2a1?a2?a22a2?a3????anan?a1?12
an?1an?1?an2解析:构造对偶式：令A?
则A? ＝(a1又?2a12a1?a2?a222a2?a3????an2
an?a1B?a222a1?a2?2a32a2?a32???2anan?1?an2?a122
an?a122an?a1B?a1?a2a1?a22?a2?a3a2?a3???an?1?anan?1?an?
an?a1?a2)?(a2?a3)???(an?1?an)?(an?a1)?0,?A?B?12(ai?aj)2ai?ajai?aj1 （i,j?1,2?n)
2222222a?a3a?ana?a11a?a2?A?(A?B)?(1)?2???n?1?n22a1?a2a2?a3an?1?anan?a1
?14?(a1?a2)?(a2?a3)???(an?1?an)?(an?a1)??12
十一、积分放缩
利用定积分的保号性比大小
保号性是指，定义在?a,b?上的可积函数f?x?????0，则bf?x?dx????0.
?a 例51.求证：? 解析:
ee?e?.
?lnee?0??e??ln?，∵ln????lnx??????e?x?edx?0lne???e?lnx?d????x???e1?lnxx2dx，
x??e,??时，1?lnxx2，
??e1?lnxx2，
∴ln???lnee，?e?e?.
利用定积分估计和式的上下界
定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.
例52. 求证：1?12?1xi?113???1n?2?n?1?1?，?n?1,n?N?.
解析: 考虑函数f?x??如图，显然1i?1i?1?在区间?i,i?1??i?1,2,3,?,n?上的定积分.
1x?i dx-①