所以1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n?12n?1?23,34
3?14?1452n?12n2n?1?12n?12n2n?1 (方法二)因为122?1?12?1??,?,??,相乘得:
1?1?3?5???(2n?1)??2?4?6???2n??2n?1??,从而1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n?12n?1.
,因为A
(方法三)设A=1?3?5???(2n?1),B=
2?4?6???2n2?4?6???2n3?5?7???(2n?1) 所以?1?3?5???(2n?1)???2?4?6???2n1??2n?1?2,从而1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n?.
下面介绍几种方法证明a1a2?a1?a3a2?a42n?1?2n???a1?a3?a5???a2n?1a2?a4?a6???a2n?2an?1?1
(方法一)因为
121?32?42n?1?2n?1,所以
12n?1?2n?1?2n?1,所以有
????1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n??k?12k?1?2n?1?1
,所以
n (方法二)
n?2?n?2n?2?n,因为
1n?2?2n?2?1n?2?n?2?n
令n?2n?1,可以得到
121?32?412n?1,所以有
?2n?1?2n?1n????1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n??k?12k?1?2n?1?1
2n?1 (方法三)设a从而an?1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n,an?1?2n?2an所以2(n?1)an?1?an?1?(2n?1)an?an?1,
n?1?[2(n?1)?1]an?1?(2n?1)an,从而an?(2n?1)an?(2n?1)an?1
a1?a2?a3???an?(2n?1)an?(2n?1)an?1?(2n?1)an?1?(2n?3)an?2???5a2?3a1?(2n?1)an?32又an?12n?1,所以a1?a2?a3???an?2n?1?32?2n?1?1
(方法四)运用数学归纳法证明: (i)当n?1时,左边=
13n?k?112k?1?2n?1?1
,右边=
3?1?23?1?13?12显然不等式成立;
(ii)假设n?k(k?1)时,
131512k?1k?i?112i?1?2k?1?1,则n?k?1时,
12k?3?????12k?3?2k?1?1?,所以要证明
k?1?i?112i?1?2k?3?1,只要
证明
2k?1?12k?3?2k?3?12k?3?2k?3?2k?1?12k?3?22k?1,这是成立的.
这就是说当n?k?1时,不等式也成立,所以,综上有
aa?aa?a?a???a?????2a?1?11131352n?1a2a2?a4a2?a4?a6???a2nn
探究2.(2008年全国二卷)设函数f(x)?求a的取值范围．
解析:因为f(x)? 设g(x)?f(x)?axsinx2?cosx.如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，
sinx2?cosx,所以
f'(x)?cosx(2?cosx)?sin(cosx?2)22x?1?2cosx(cosx?2)2
,g(0)?0
,则
g'(x)?f'(x)?a?1?2cosx(cosx?2)2?a?cosx?2?cosx?2?1?2(cosx?2)2?a?2cosx?2?3(cosx?2)2?a 因为|cosx|?1,所以 (i)当a?1时,
32cosx?2?1?????1,?(cosx?2)3??23
f(x)≤ax恒成立.
g'(x)?0恒成立,即g(x)?g(0)?0,所以当a?1时,
3 (ii)当a?0时,f(?)?122?0?a?(?2),因此当a?0时,不符合题意.
(iii)当0?a?1时,令h(x)?sinx?3ax，则h?(x)?cosx?3a故当x??0，时,h?(x)?0. arccos3a?3 因此h(x)在?0，arccoas?3上单调增加.故当x?(0，arccos3a)时,h(x)?h(0)?0, 即sinx?.于是，当x?(0，3axarccos3a)时，
??,????3?f(x)?sinx2?cosx?sinx3?ax
所以综上有a的取值范围是?1
变式：若0?xi?arcco3sa,其中i?1,2,3,?,n
且0?a?tanx1213,x1?x2?x3???xn?arccos3a,求证:
x22?tanx32???tanxn2?3a2arccos3a.
?tan证明：容易得到tanxi2?sinxicosxi?1?sinxi2
由上面那个题目知道sinxi?3axi 就可以知道tanx12?tanx22?tanx32???tanxn2?3a2arccos3a
e?ax★同型衍变:(2006年全国一卷)已知函数 (x) >1, 求 a的取值范围.
f(x)?1?x1?x.若对任意 x∈(0,1) 恒有 f
解析:函数f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为f?(x)?ax2?2?a2(1?x)e?ax.
(ⅰ) 当0< a≤2时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时a满足要求.
(ⅱ) 当a>2时, f (x) 在区间 (-一点, 比如取x12a?2aa?2a,
a?2a)为减函数, 故在区间(0,
a?2a) 内任取
0?, 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时a不满足要求.
(ⅲ) 当a≤0时, 对于任意x∈(0, 1) 恒有
f(x)?1?x1?xe?ax≥1?x1?x?1, 这时a满足要求.
综上可知, 所求 a的取值范围为 a≤2.