对i求和，
n?i?11in???i?1i?1i1xdx?n?1?n?11x1dx
??2x???1?2?n?1?11n?1?.
1?1n?3???12n?710 例53. 已知n?N,n?4.求证： 解析:考虑函数f?x??∵1n?i?.
n?211?x在区间?i?1?n?,i?n???i?1,2,3,?,n?上的定积分.
i?1n?11?in??ni?1n11?xdx-②
∴1?n?ini?1nnini?1n??i?11n?11?in???i?111?xdx??1011?x17dx??ln1?x?????0?ln2?.
10 例54. （2003年全国高考江苏卷）设a?0，如图，已知直线l:y?ax及曲线C：yC?x2，
上的点Q1的横坐标为a1（0?a1?a）.从C上的点Q?n?1?作直线平行于x轴，交直线l于点
n再从点Pn?1作直线平行于yPn?1，轴，交曲线C于点Qn?1.Q?n?1,2,?,n?的横坐标构成数列?an?.
n（Ⅰ）试求an?1与an的关系，并求?an?的通项公式； （Ⅱ）当a?1,a1?12n时，证明
n?(ak?1k?ak?1)ak?2?132；
（Ⅲ）当a?1时，证明?(ak?1k?ak?1)ak?2?13.
解析:an?a(a1a)2n?1（过程略）.
?12证明（II）：由a∵当k∴?(ank?1?1知an?1?an2，∵a1161161，∴a2?14,a3?116.
?1时，ak?2?a3?，
132k?ak?1)ak?2?116k?1?(ak?ak?1)?n(a1?an?1)?.
证明（Ⅲ）：由a?1知a∴(akk?1?ak2.
?ak?1)ak?2?(ak?ak?1)ak?1恰表示阴影部分面积，
2显然 ∴
nk(ak?ak?1)ak?1?2?akak?1xdx2④
nn?(ak?1?ak?1)ak?2??(ak?1k?ak?1)ak?1?2??k?1akak?1xdx2??a10xdx?213a1?313.
奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：
①1i???i?11xi； dx?2?i?1?i?dx?ln?1?②1n?i?i?ni?1n11?x??i?i?1?； ???ln?1??n?n??③sin?④(ai?sin?i?12?1?sin?i?1?ak?1)ak?1?2?sin?isin?i?111?x12dx??i??i?1；
k?akak?1xdx?2?a33k?ak?1?3.
十二、部分放缩(尾式放缩) 例55.求证: 解析:
?13?1?13?2?1???13?2n?1?1?47
?17???13?2n?113?11128?13?2?11???13?247n?1?1?14?1?1128?13?22???13?2n?1
?13?41?12?4784?4884
? 例56. 设a 解析:
n?1?12a?13aa???1na1na,a?2.求证：an?2. 122an?1?12a?13????1??132???1n2.
又k2?1k2?k?k?k(k?1),k?2（只将其中一个k变成k?1，进行部分放缩），
?1k(k?1)122?1321k?1????1n21k，
12)?(122于是an?1???1?(1??13)???(1n?1?1n)?2?1n?2.
例57.设数列?an?满足an?1(i)an?n?2?an?nan?1?n?N?12?，当a1?3时证明对所有n?1, 有
；(ii)11?a1?11?a2???11?an?
?k?2 解析: (i)用数学归纳法：当n?1时显然成立，假设当n?k时成立即akn?k?1时
ak?1?ak(ak?k)?1?ak(k?2?k)?1?(k?2)?2?1?k?3，成立。
，则当
(ii)利用上述部分放缩的结论ak?1?2ak?1来放缩通项，可得
ak?1?1?2(ak?1)?a?1???2k?1(a?1)?2k?1?4?2k?1?k11ak?1?12k?1.
n?i?111?ain??i?112i?11n1?() 112???.1421?2 注：上述证明(i)用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：
ak?1?(k?2)(k?2?k)?1?k?3；证明(ii)就直接使用了部分放缩的结论ak?1?2ak?1
十三、三角不等式的放缩 例58.求证:|sinx|?|x|(x?R). 解析:(i)当x?0yPA时,|sinx|?|x|
OTBx
(ii)当0?x??2时,构造单位圆,如图所示:
因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积 所以可以得到sinx?x?|sinx|?|x| 当x??2时|sinx|?|x|
有|sinx|?|x|
|sinx|?|x|
所以当x?0时sinx?x (iii)当x?0时, ?x?0,由(ii)可知: 所以综上有|sinx|?|x|(x?R)
十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强
对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明f(x)?只要证明f(x)?A?B(B?0),其中B通过寻找分析,归纳完成.
例59.求证:对一切n(n?N*),都有
nA,
?kk?11k?3.
解析:
k1k?1k3?1k(k?1)2?????(k?1)k(k?1)?11(k?1)k????k(k?1)??11k?1?k?1
?????1(k?1)k????k(k?1)??11k?1?k?1?1??k?1k?1????k?1?1k?1?2k?1
?1??k?n1k?11kk????k?1?11?1312k2?12?1k?114??131k?1?15
???1k?1?1k?1?1?22?1k?1k?1?3从而
?k?1?1??
当然本题还可以使用其他方法,如:
? 1111?kk?k1k?1nk?1?k?k?k?1???k(k?1)?1???2?k?1k?k?1?1k?k?k?1???1?1k?1?1??k?
??2????1??k?
n 所以
?k?11kk?1??k?21kk?1?2(1?1k)?3.
(ii)异侧加强(数学归纳法)
(iii)双向加强
有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:
欲证明A?f(x)?B,只要证明:A?C?f(x)?B?C(C?0,A?B). 例60.已知数列{an}满足:a 解析:
an21?1,an?1?an?1an,求证:
2n?1?an?3n?2(n?2).
?1??a?n?1?an?1?22?,从而an2?an?12?2,所以有 2??ak?1?2??22222an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1?2(n?1)?1?2n?1,所以an?222n?1
又a
22n?1??a?n?1?an?1?22?,所以an2?an?12?3,所以有 2??ak?1?3??222222an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1?3(n?1)?1?3n?2所以an?3n?2
所以综上有
2n?1?an?3n?2(n?2).
1an引申:已知数列{an}满足:a解析:由上可知a 从而
n1?1,an?1?an?,求证: ,所以1ann?ak?11k?2n?1.
2n?2n?1,又
2n?1?2n?1?22n?3?12n?1?2n?1?2n?3?2n?1?2n?3
?ak?11k?1?3?1?5?3???n2n?1?2n?3?2n?1(n?2)
又当n?1时,
1a1?1,所以综上有
?ak?11k?2n?1.
?0,a1?0,an?1?an?1?1?an(n?N)22? 同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列?a?,ann.
记Sn(1)a?a1?a2???an,
Tn?11?a1?1(1?a1)(1?a2)???1(1?a1)(1?a2)?(1?an).求证:当n?N时.
?n?an?1;
(2)Sn?n?2;
★(3)Tn?3.
解析:(1)an?12?an2?1?an?1,猜想an?1,下面用数学归纳法证明:
(i)当n?1时,a1?1,结论成立; (ii)假设当n?k(k 从而ak?12?ak?1?2??1)时,ak?1,则n?k?1(k?1)时,ak?1?ak?1?1?ak22
an?1?1,所以0?ak?1?1
?1,故an?1?an?0?an?1?an
22 所以综上有0?an (2)因为an?12?an2相加后可以得到:
2?1?an?1则a2?a1?1?a2,a3?a2?1?a3,…, an?1?an?1?an?1222222,
an?1?a1?n?(a2?a3???an?1)?Sn?1?n?an?1222,所以
Sn?n?1?an?n?2,所以Sn?n?2
(3)因为an?12?an?1
1(1?a3)?(1?an)(1?an?1)1?1?an?2an,从而a2n?1?1?2anan?1,有
11?an?1?an?12an,所以有
?an?12an?an2an?1?a32a2?an?12?n?1,从而
?an?12n?1a21(1?a1)(1?a2)(1?a3)?(1?an)(1?an?1)1(1?a1)(1?a2)(1?a3)?(1?an)?nn21?an?12n?1,所以
a21?a2?an2n?2a2a21?a2?1,所以
Tn?1?11?a2?a32?a422???an2n?2?1?11?a2?12?122???12n?2?25?1?1?1?3
所以综上有Tn?3.
35 例61.(2008年陕西省高考试题)已知数列{an}的首项 (1)证明:对任意的x?0,a (2)证明:a?a2???an?na1?,an?1?3an2an?1,n?1，，2?．
n≥11?x??2?,2??x?n?1，，2?n(1?x)?3?1;
2.
?3nn1n?1 解析:(1)依题,容易得到a即证1?即证
21?x23nn2?3?1?23n,要证x?0,an≥11?x??2?,n?1，，2??n?x?(1?x)?3?12,
?11?x?n221?2??x?1?1?????2nn22(1?x)?3(1?x)?1?x3(1?x)1
n?2?3n3(1?x)2?23n?1?0,设t?11?x所以即证明?(t)??2?33n?t?2t?223n?1?0(0?t?1)
从而?(1)?0,即?2?33nn?2?23n?1?0,这是显然成立的.
1所以综上有对任意的x?0, (法二)
11?x1an≥1?x?2??2?n?1，，?n?x?(1?x)?3?12,
??2?11??n?x??2(1?x)?31?x(1?x)?2?2??n?1?1?x?3??2
,?原不等式成立．
?11?x?21?1?1?1≤an???(1?x?)??an??an2???2?1?xa(1?x)a1?x(1?x)?a??nnn?1 (2)由(1)知，对任意的x?0，有
a1?a2???an≥11?x??11?211?2?2??? ?x???x?????x?????2222?n(1?x)?31?x(1?x)?3?1?x(1?x)?3??1?22?2?．
??2???n?nx?(1?x)?333?12n1?x?取
2?1??1?n?1?222?3?3?1x???2???n???1?n?333?n?n?1??3??1???1?n?3??，
则
a1?a2???an≥1?n1?1??1?n?n?3??n2．
n?1?13n?n2n?1?原不等式成立．
十四、经典题目方法探究
探究1.(2008年福建省高考)已知函数最小值为bn,令anf(x)?ln(1?x)?x.若f(x)在区间[0,n](n?N*)上的
2an?1?1.
?ln(1?n)?bn.求证:a1?a1?a3???a1?a3?a5???a2n?1?a2a2?a4a2?a4?a6???a2n?nn 证明:首先:可以得到an (方法一)
.先证明1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n2?12n?1
1?33?5(2n?1)(2n?1)11?1?3?5???(2n?1)????????222?2?4?6???2n?24(2n)2n?12n?1??