第一章 随机事件与概率
1、全概率公式： 对于两个事件A、B有：
P(Ai|B)?P(Ai|B)P(Ai)n?P(Ai?1i|B)P(Ai)
即：P(A)?P(AB)?P(AB)
对于多个事件：P(A)??P(A|Bi)P(Bi)
i?1n?2、贝叶斯公式：
P(Ai|B)?P(Ai|B)P(Ai)n
?P(Ai?1i|B)P(Ai)注释：B的发生是由Ai导致的概率。 3、事件两两独立不一定相互独立
第二章 随机变量与分布函数
1、帕斯卡分布：（得到r次成功时所需要的“等待时间”的分布）
1rk?rP(x?k)?Crk?,k?r,r?1? ?1P(1?p)2、二维条件分布：
T=?Xi~P(n?)?N(n?,n?)W?{(x1,x2?xn):T?C}i?1n（1）离散：P{Y=yi|X=xi}=yP{X=xi,Y=yi}Pij?
P{X=xi}Pj（2）连续：P{Y f(y|x)???f(x,y) 其中fx(x)????f(x,y)dy fx(x) 在给定Y=y的条件下，X的分布密度函数为： f(x|y)???f(x,y) 其中fY(y)????f(x,y)dx fY(y)3、如果随机变量X与Y相互独立，则他们各自的函数g(x)与h(y)也相互独立 4、卷积公式： fz(z)????fX(z?y)fY(y)dy 或者：fz(z)??fY(z?x)fX(x)dx ??????5、极大值极小值分布： （1）极大值： Fmax?p(X(n)?x)?[F(x)]nfmax?n[F(x)]f(x)n?1 （2）极小值： Fmin?p(X(1)?x)?1?P(X(1)?x)?1?[1?F(x)]nfmax?n[1?F(x)]f(x)n?1 第三章 随机变量的数字特征 1、注意例题3-16（P64）及课后3、7题（P83） 2、柯西-施瓦茨不等式：[E(XY)]2?E(X2)E(Y2) 3、方差：Var(X)?E[X?E(X)]2?E(X2)?E2(X) 4、协方差：Cov(X,Y)?E[X?E(X)][Y?E(Y)]?E(XY)?E(X)E(Y) 5、相关系数：Corr=?=?XY?Cov(X,Y) Var(X)Var(Y)6、相互独立?不相关，反之则不一定；但是对于二维正态分布， 相互独立?不相关 7、条件期望： （1）离散：E(X|Y?y)??xP{X?x|Y?y} x（2）连续：E?XY=y?????xfxy?xy?dx 8、条件方差 Var(X|Y?y)?E[(X?E(X|Y?y))2|Y?y]?E(X|Y?y)?(E(X|Y?y))22? 9全期望公式 （1）对所有随机变量X和Y：E?X??E?E?XY?? 若Y是离散随机变量则E?X???E(X|Y?y)p{Y?y} y 若Y是密度为f（的连续随机变量则：E?X?????E(X|Y?y)fY(y)dy Yy）10、两个特殊形式的全概率公式： ???P(E|Y?y}P(Y?y)?Y是离散的 P(E)??x???P(E|Y?y}f(y)dy?Y是连续的Y?????11、矩 X分布关于c的k阶矩E(X?c)k；c=0时为k阶原点距uk?E(X)k；若c=E(X),则称E(X?E(X))k为K阶中心矩?k 前四阶中心矩用原点矩表示为 ??1?0?2??u?u?221 ?3??3?u3?3u2u1?2u1???u?4uu?6uu2?3u431211?412、变异系数：C=Var(X)（无单位的量，取值大的方差也较大） E(X) 13、分位数：若x?满足F(x?)????f(x)dx??，则称x?为X分布的?分位数，或下侧分位数。（x'?x1??，转化为1-?上侧分位数） x?第四章 大数定律与中心极限定理 ?Var(X)?P{|X?E(X)|??}?2???Var(X)1、切比雪夫不等式：?或：P{|X?E(X)|??}?1? 2??|X?E(X)|1?或：P{??}?2??Var(X)?1n2、辛钦大数定理：limP{|?Xk?u|??}?1 n??nk?1P{|Yn??|??}?1 另：limn??fA?limP{|?P|??}?1??n??n3、伯努利大数定理：? ?或limP{|fA?P|??}?0??n??n4、中心极限定理： （1）独立同分布下的中心极限定理：limP(i?1n???Xnni?nu?x)??(x)?N(0,1) n?对任意X分布，当n足够大，总可近似为 或等价于：?Xi?N(nu,n?2) i?1n?Xi?1i?nu?N(0,1) n?（2）德莫弗—拉普拉斯中心极限定理：X服从0-1分布B（1，P），则对任意一个x,总有： limP(i?1?x)??(x)?N(0,1)（与二项分布近似正态分布的有区别） n??np(1?p)?Xni?nP 第五章 统计量及其分布 1、样本的数值特征 （1）、反应中心趋势的样本的数值特征 1样本均值 ○ 1）、点数据 x??xi?1nin 2）、区间数据 x??nxi?1knii i?ni?12样本中位数 ○ ?x?n?1?..................n为基数????2? Me?? ?x?n??x?n????1????2??2?.......n为偶数??23样本众数 ○ （2）反映离散程度的样本特征： 1样本方差和标准差○ S2??(xi?1ni?x)?2n?1（点数据）或S2??n(xii?1ki?x)2(区间数据) ?1??ni?1ki2样本极差：R=max(xi)?min(xi) ○ 3样本四分位差：Qd?Q3?Q!（注意不能整除时的情况） ○