（3）反映形状特点的样本特征值
n?(xi?x)i?1n?31偏态：SK?○
（点数据）或SK?3(n?1)(n?2)S?n(xii?1ki3?x)3(区间数据)
?nS数=众数?SK?0:均值 ?中位 ??SK?0:众数<中位数<均值
?SK?0:均值<中位数<众数?2nn???n(n?1)?(xi?x)4?3(n?1)[?(xi?x)]?i?1i?1?K?（点数据）4?(n?1)(n?2)(n?3)S2峰态： ?○
k??4n(x?x)?ii??3(区间数据)?或K?i?1nS4?2、统计量
满足：（1）统计量中不含未知参数 （2）统计量是样本的函数
3、抽样分布：无论总体X服从任何分布，只要该总体均值方差已知 则样本均值的渐进分布为：X?N(u,4、三大检验分布： 1）、?2分布
（1）定义：设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且都服从N(0,1)，则随机变量X??Xi2所服从的分布称为自由度为n的?2分布，记为X~?2(n).i?1n??2n)
(2)设X=X1+X2且已知X1与X2相互独立，X~?2(n)
X1~?2(n1)，则X2~?2(n?n1).X?nn???(3)若X~?(n)，则~N(0,1).
2n2（4）E(X)?n??Var(X)?2n
2）、t分布
（1）设随机变量X~N(0,1)，Y~?2(n)，X与Y相互独立，则随机变量
T?X/Y/n所服从的分布称为自由度为n的t分布，记为T~t(n).（2）E(X)?0.......Var(X)?3）、F分布
n n?2X/n1Y/n2
服从的分布称为第一、二自由度为n1、n2的F分布，记为F~F(n1,n2)(1)设X~?2(n1)，Y~?2(n2)，X与Y相互独立，则随机变量F?2n22n2(n1?n2?2)(2)E(X)?(n2?2)，Var(X)?(n2?4); 2n2?2n1(n2?2)(n2?4)总结：设总体X~N(?,?2)，X1,X2,?,Xn为抽自总体X1n1n2的iid样本，令X??Xi,S?(Xi?X)2，则有?ni?1n?1i?1?2(n?1)S2 (1)X~N(?,)......;(2)~?2(n?1);2n?(3)X与S2相互独立。(4)X?u?t(n?1)Sn/n?1?
第六章 参数估计
1.矩法估计
（1）基本思想：用样本矩代替总体矩。
总体k阶原点矩：vk?E(Xk) 总体k阶中心矩：?k?E(X?EX)k
1nk1n样本k阶原点矩ak??Xi 样本k阶中心矩bk??(Xi?X)k
ni?1ni?1（2）常用的矩估计等式
1n一个未知参数时，矩等式为：E(X)?X??Xi
ni?11n矩估什法 两个未知参数时，矩等式为：E(X)?X,其中X??Xi
ni?1 D(X)?S
2n其中
1nS??(Xi?X)2
ni?12n
2．极大似然法
设总体X的分布律中含有未知参数?，来自该总体的n个样本为
X1,X2,?,Xn，样本值为x1，x2，?，xn
（1） 构造似然函数：L(?)??f(xk,?)
k?1nX为连续型随机变量时f(xk,?)为样本Xk的概率密度函数 X为离散型随机变量时f(xk,?)?P{Xk?xk}
?（2） 求使得L(?)??f(xk,?)取得最大值的?，记为?为极大似然估计量。
nk?1?（常用到对数似然函数lnL(?)，然后对?求导，找到驻点，即为?）
??点估计的评价标准：?
（1）无偏性：设???＝???(x1，x2，?，xn)为未知参数??的估计量．若E(??)＝??，则称??为??的无偏估计量．
若总体X的均值E(X)和方差D(X)存在，则样本均值x和样本方差S2分别为E(X)和D(X)的无偏估计，即
E(x)＝E(X)，E(S2)＝D(X)．
????(x1，x2，?，xn)和?????(x1，x2，?，xn)是未知参数??(2)有效性：设?1122????D(?)?D(?的两个无偏估计量．若12)则称?1比?2有效．
(3)相合性 ：设??n是??的一串估计量，如果对于任意的正数??，都有
???|??)?0, limP(|?nx?? 则称??n为??的相合估计量(或一致估计量)．
4、均值的区间估计
参条件 数 u1 ?2已知 抽样分布 X??~N(0,1) ?nX??~t(0,1) Sn置信区间 （X?Z1??2??/n） ?未知 2小样本 大样本 （X?t1??2(n?1)?S/n） X??~N(0,1) Sn--2122（X?Z1??2?S/n） --u1u2?1、?2已知 22X-Y?N（u1-u2,?/n1+?/n2）(X-Y?Z1??/2?1/n1+?2/n2) (X-Y?t1??（2n1+n2-2）Sw--的小--?1=?2X-Y?(u1-u2)差 样 ?（tn1+n2-2） 本 Sw1+1n1n2未知 大--11X-Y?N（u-u,(+)Sw2）样12n1n2本 ? (n?1)S2 ??2(n?1) 2?11+)n1n2 (X-Y?Z1??/2Sw--11+) n1n2(n?1)S2(n?1)S2(2,) ?1??2(n?1)?2?2(n?1)?1/?2 (n?1)SB2?B2(n?1)SA2/(nB?1)?F(nB?1,nA?1) /(nA?1)SA2{2F?/2(nB?1,nA?1),SBSA2F1??/2(nB?1,nA?1} SB2?A2注意F(nB?1,nA?1)中的顺序 注：1、S2w2(n1?1)S2X?(n2?1)SY? n1?n2?2 2、F1??2(nB?1,nA?1)?1 F?2(nB?1,nA?1)例1 设总体X～P(??)，求对??的矩估计量．（矩估计法） 1n??x． 解：考虑到E(X)＝??，由方程E(X)?X??Xi＝??解得?ni?1
例2.设总体X服从区间（0，?）上的均匀分布，x1，x2，?，xn是来自总体X的样本，x为?= ____.（矩估计法） 样本均值，??0为未知参数，则?的矩估计?解：一个未知参数，矩等式为：E(X)?X X~U(0.?)，则E(X)??2，
?2?E(X)?X
??2X。 可得?的矩估计?例3．设总体X服从均匀分布U(?,2?)，x1，x2，…，xn是来自该总体的样本，则?的矩估计??=______．（矩估计法） 解：一个未知参数，矩等式为：E(X)?X X~U(?,2?)，则E(X)?3?3?，?E(X)?X 22??2X。 可得?的矩估计?3
例4.设总体X的分布为：
p1?P(X?1)??2,p2?P(X?2)?2?(1??),p3?P(X?3)?(1??)2,
其中0
L(?)??f(xk,?)?P(X?1)P(X?2)P(X?2)P(X?1)P(X?2)P(X?3)
k?1n ??2?2?(1??)?2?(1??)??2?2?(1??)?(1??)2?8?7(1??)5 (2)取自然对数
lnL(?)?ln8?7(1??)6?ln8?7ln??5ln(1??)
(3)求导，找驻点 dlnL(?)75??7。 ???0，得?dx?1??12例1 设有一组来自正态总体N(??，??2)的样本值：0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512．
?? (1)已知??2＝0.012，求??的95％置信区间．（对?估计，方差已知）
(2)未知??2，求??的95％置信区间．（对?估计，方差未知）