第7章 刚体的平面运动 7.1 主要内容
7.1.1 刚体平面运动
刚体作平面运动的充要条件是：刚体在运动过程中，其上任何一点到某固定平面的距离始终保持不变。
刚体的平面运动可以简化成平面图形在平面上的运动。运动方程：
xO??f1(t)??yO??f2(t)? ??f3(t)??其中基点O'的坐标xO' 、yO'和角坐标? 都是时间t的单值连续函数。如果以O'为原点建立平动动系O'x'y '，则平面运动分解为跟随基点（动系）的平动和相对于基点（动系）的转动。7.1.2 研究平面运动的基本方法
1．分析法——建立运动方程式
2．运动分解法---基点法和绕两平行轴转动的合成。 (1)基点法——本章重点
(2)绕两平行轴转动的合成——常用于研究行星轮系统的传速比。 7.1.3 平面运动刚体上点的速度分析的三种方法
1．基点法——应用速度合成定理 2．速度投影定理（由基点法推论） 3．瞬心法（由基点法推论）
7.1.4 用基点法分析平面运动刚体上各点的加速度
1．ae?a基点
2．平动动系：科氏加速度aC?0 3．应用加速度合成定理
7.2 基本要求
1. 熟悉刚体平面运动的特征，正确理解有关平面运动的各种概念。 2. 能熟练应用基点法、瞬心法和速度投影定理求解有关速度的问题。 3. 能熟练应用基点法求解有关加速度的问题。
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4. 对常见平面机构能熟练地进行速度和加速度分析。
5. 正确理解绕平行轴转动合成的概念，并能用于行星轮系中的角速度分析。
7.3 重点讨论
1．正确判断刚体的运动类型是否属于平面运动。 2．用基点法分解运动。
在平面图形上任取一点作为基点，建立平动动系，将平面图形的运动分解为跟随基点的平动（牵连运动）和相对于基点的定轴转动（相对运动）。
即：刚体的平面运动?平动（跟随基点）+转动（绕基点）。 3．用绕两平行轴转动分解平面运动。
平面运动?转动（牵连运动）+转动（相对运动）。 此法多用于行星轮系速比之计算。 4．习题类型。 （1）杆系机构。 （2）轮系机构。
5．解题小结。
（1）分析速度时，有三种方法可灵活选择。 ①基点法——这是基础。 ②瞬心法。 ③速度投影定理。
后两者是基点法的推论，但用于定性分析和定量计算均很方便。 （2）分析加速度时，只推荐用基点法。 （3）解题步骤。
①分析系统中各构件的运动，找出平面运动构件，分析其约束特点。 ②根据已知条件，分析各构件的连接关系，确定解题方案。
③杆系问题求解平面图形的角加速度时，必须通过相对切向加速度求之。 ④轮系问题，可由角速度直接求导，求得角加速度。 ⑤行星轮系的角速度分析，推荐用反转法。 6．注意点。
(1)基点法是求解平面运动图形上各点速度与加速度的基本方法，若已知平面图形上基点的速度与加速度，以及平面图形的角速度与角加速度，则平面图形上各点的速度与加速度均可求得。
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(2)若已知平面图形上一点的速度(大小、方向)及另一点速度的方位，则可应用速度投影定理求得该点速度的大小。
(3)瞬心法是求解平面运动图形上各点速度较为简捷的方法，关键是将该瞬时的速度瞬心确定后，再将角速度求出，则各点速度可按“定轴转动”分布情况求得，要注意速度瞬心是对一个平面运动刚体而言的。
(4)速度瞬心并不等于加速度瞬心。
(5)平面运动图形按基点法分解时，引进的动系是平动坐标系，且注意到绕基点的相对转动部分与基点的选择无关，因而平面图形的角速度和角加速度实际上是绝对的且是唯一的。若按刚体绕平行轴转动合成来分解时，引进的动系是转动坐标系，因而平面图形的角速度和角加速度则是相对的。这两者的差别在解题时至关重要。
7.4 例题分析
例7-1 已知圆柱半径为r，它由静止铅垂落下时，轮心
2速度v?3gh，式中g为常量，h如图示；求 圆柱的平面
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运动方程。
解 选t = 0时圆心的位置为坐标原点，取A为基点，有
xA?0,yA?h?r? dyA2?v?3gh dt3
积分，得圆柱的平面运动方程为
图7-1
xA?0,yA?121gt,??gt2 33r例7-2 已知OA的转速n = 40r/min，OA = r = 0.3；求图示瞬时，筛子BC的速度。
(a) (b)
图7-2
解 A、B两点速度如图，图中
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??2πn4?πrad/s 603由速度投影定理得 解出筛子平动的速度为
vA?vBcos60? vB?2vA?2?r?2.513 m/s
例7-3 已知OA = 0.1m，OD = BE = 0.12m，AB = 0.26m，DE = 0.123m；OA杆的角速度?O = 12 rad/s;求图示瞬时，杆OD的角速度?OD。
解 图示瞬时，AB杆作瞬时平动，BE杆平动，ED杆的速度瞬心为C，又由已知尺寸可算出∠ODE = ∠OED = 30?，故
vE?vA?OA??O?1.2 m/s，
?DE?vE10?3rad/s CE33.63
vD?CD??DE? m/s，
?OD?vD?103rad/s OD(a) (b)
图7-3
例7-4 已知半径为r的滚子在半径为R的槽中纯滚动，滚子中心的速度和切向加速度
?为vC和aC；求图示瞬时滚子上A、B两点的加速度。
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(a) (b)
图7-4
解 滚子的A点是速度瞬心，故滚子的角速度和角加速度为
?vCd?1dvCaC??,????
rdtrdtr选C点为基点，A点的加速度为
?nn aA?aC?aC?a?AC?aAC
?
向x、y轴投影，解出
B点的加速度为
2vC大小 ？ aC r? r?
R?r方向 ? 皆如图所示
aAx?0,aA?aAy?R2vC
r(R?r)?nn aB?aC?aC?a?BC?aBC
?
向B点处x、y两轴投影，解出
2vC大小 ？ aC r? r?
R?r方向 ? 皆如图所示
?aBx?2aC,aBy??R?2r2vC
r(R?r)例7-5 已知滚子纯滚动，OA = AB = R = 2r = 1m，? = 2 rad/s；求图示瞬时点B和点C的速度与加速度。
(a) (b) (c)
图7-5
解 先做速度分析如图(b)，点P是滚子速度瞬心，AB杆瞬时平动，，有
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