浙江大学1999年研究生高等代数试题
一．a1,a2,?,an是n个不相同的整数，证明f(x)?(x?a1)(x?a2)?(x?an)?1在有理数域上可约的充分必要条件是f(x)可表示为一个整数多项式的平方
?a1????a2?TT二．设????，且???0，求(1)En??? (2)(En???T)?1
????a??n?(其中En为n阶单位阵，?为?的转置)
三．矩阵Am?n是行满秩(即秩A?m)，证明(1)存在可逆阵Q，使得A?(Em,0)Q (2) 存在矩阵Bn?m，使得AB?Em
四．设n阶方阵A满足A?A，?1,?2,?,?n是P中n个线形无关的列向量，设V2是由
2nTA?1,A?2,?,A?n生成的子空间，V1是AX?0的解空间，证明：Pn?V1?V2(V1?V2表示V1与V2的直和)
??1????五．设A,B都是n阶实对称矩阵，且B正定，则存在S及D???，使得??n???A?SDST,B?SST
六．设n阶矩阵A?(aij)，满足下列条件：)0?aij?1,?i,j
求证：(1)A的每一个特征值?，都有
??1(2)?0?1为A的一个特征
?x1??y1???x1??????????nn??????|xi是实数?，A是n阶正定阵，?????，???????，
??????x???xn??yn?n????求证：(1)(?A?)?(?A?)(?A?)等号成立当且仅当?与?线形相关时成立 （2）若A是正定矩阵，则(?A?)?(?A?)(?A?)也成立
T2TTT2TT八（1）设A,B分别为复数矩阵域上的k阶和l阶方阵，并且A,B没有公共的特征值，求证AX?XB只有空解（这里X（2）在?n?n?(xij)k?k）
中，变换?:X?AX?XA,A??n?n，?为一个固定的矩阵，且?的特征
值不为（-?）的特征值，求证：?为一个线形变换。
浙江大学1999年研究生数学分析试题
n(nn?1)一．求极限Lim(n??)
lnn二．在xy平面上求一点，使它到三条直线x?0,y?0及x?2y?16?0的距离平
方和最小
三．计算二重积分??xydxdy，其中D由曲线 x2?y2?x?y 所围城的区域
D四．设f(x)在x?0时连续，f(1)?3，并且?f(t)dt?x?f(t)dt?y?f(t)dt，
111xyyx(x?0,y?0)，试求函数f(x)
五．设函数f(t)在(a,b)连续，若有数列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使
Limf(xn)?A(n??)及Limf(yn)?B(n??)，则对A，B之间的任意数?，可找到数列xn?a，使得Limf(zn)??
六．设0?ak?a,k?1,2,....,n令sn??ak，证明不等式?k?1naknsn ?n?snk?11?akn七．设函数f在[a,b]上连续，且f?0,记fvn?f(a?v?n),?n?Limf1nf2n?fnnnb?a，试证明：n1b?exp{lnf(x)dx}(n??)并利用上述等式证明下式
b?a?a12??2?0ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr (r?1)
八．从调和级数1?111??????中去掉所有在分母的十进表示中含数码923n的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的
浙 江 大 学
二〇〇〇年攻读硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
一、（20分）f(x)是数域P上的不可约多项式
（1）g(x)?P[x]，且与f(x)有一个公共复根，证明f(x)|g(x)；
11（2）若c及都是f(x)的根，b是f(x)的任一根，证明也是f(x)的根.
cb210?000121?000?????二、（10分）计算行列式Dn?. 000?121000?012三、（20分）
（1） A是正定阵，C是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵P使得
P?1AP,P?1CP同时为对角形；
（2） A是正定阵，B是实矩阵，而AB是实对称的，证明：AB正定的充
要条件是B的特征值全大于0. 四、（20分）设n维线性空间V的线性变换A有n个互异的特征值，线性变换B与
A可交换的充要条件是B是E,A,A2,?,An?1的线性组合，其中E为恒等变换. 五、（10分）证明：n阶幂零指数为n?1的矩阵都相似.
（若An?1?0，An?2?0而称A的幂零指数为n?1）
六、（20分）设A,B是n维欧氏空间V的线性变换。对任意?,??V，都有
(A(?),?)??(B,?())。证明：A的核等于B的值域的正交补.
浙江大学2000年研究生数学分析试题
一．（共10分）(1)求极限lim解：原式=limx?0e?(1?x)
x?0xe(1?x)?21x1x(1?x)ln(1?x)?xx(1?x)2
(2)设x0?a,x1?b,xn?xn?2?xn?1,n?2,3,?,求limxn
n??2解：xn?xn?1??1，这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛，以下求解2(xn?1?xn?2)就按照{xn?xn?1}这个数列来进行即可。 二．（共10分）1．设f(0)?K,试证明lim?a?0b?0?‘f(b)?f(a)?K
b?a证： lim?a?0b?0?f(b)?f(a)f(b)?f(0)?f(0)?f(a)?lim???K a?0?b?ab?a?b?02．设f(x)在[a,b]上连续，f??(x)在(a,b)内存在，试证明存在??(a,b)，使得
a?b(b?a)2f(b)?f(a)?2f()?f??(?)
24分析：考虑函数F(x)b?f(x?a?2)?f(x)即可
?n三．（共15分）1．求数项级数?nn?12分析：S=2S-S
的和S
12．试证明s(x)??xn?1n四．（共15分）
?在(1,?)上的连续函数
?x?y?u?v?0?u?u(x,y)?v?v, 1． 设方程组?，确定了可微函数?，试求du,?x?yxsinu?ysinv?0v?v(x,y)??分析：用隐函数组的方法求解； 2． 设F(y)??yycos(x2y)dx，求F?(1) x0ycosxyx2分析：
F(y)??ydx??0cosxyx21dx??0cosy2t2?cosy3t2tdt
五．（共30分） 1． 计算定积分I???0xsincosxdx 21?cosx22为顶，以平面z?0为底，以柱面x?y?1为侧面的曲顶柱体的
分析：令t=cosx，I=0。 2． 求以曲面z?e体积V 分析：V?3． 设
?x，其中z?ezdxdy??2?x2?y2?y2，D={(x,y)| 0?x?y?1}.
22D??2222表示半球面z?1?x?y(x?y?1)的上侧，求第二类曲面积分
J?222(x?y)zdydz?(xy?2z)dzdx?(2x?z)ydxdy ????2?分析：使用高斯公式，则J=3.
六．（共20分）1．将函数f(x)?x (???x??)展开成Fourier级数 分析：直接使用Fourier的定义公式； 2． 级数
1的和 ?2nn?11?分析：使用幂函数中的公式求解； 3． 计算广义积分
12ln(1?x)dx ?x0112ln(1?x)ln(1?x)ln(1?x)dx+dx+?dx=lim分析：原式=?[???0xxx1?021???12ln(1?x)dx] x浙 江 大 学
二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
一、（12分）设两个多项式f(x)和g(x)不全为零。求证：对于任意的正整数n，有
(f(x),g(x))n?(f(x)n,g(x)n)。
二、（12分）设Sn?x1?x2???xn,(k?0,1,2,?)；aij?Si?j?2(i,j?1,2,?,n)。
a12?a1n
kkka11 计算行列式：
a21?an1a22?a2n???an2?ann三、（12分）设A,B是n级矩阵，且A?B?AB。求证：AB?BA。
四、（12分）设A是m?n级阵，A的秩为m，B是n?(n?m)级矩阵，B的秩为n?m，且AB??。这里n维列向量?是齐次线性方程组AX?0的解，求证：存在唯一的n?m维列向量?，使得B???。
五、（11分）求V1?L(?1,?2,?3),V2?L(?1,?2)的和与交的基与维数。其中
??1?(1,2,?1,?2)??1?(2,5,?6,?5)???(3,1,1,1)， ?2????(?1,0,1,?1)??1?(?1,2,?7,3)?3