使(f(A))?1?g(A)。（注：P是数域，Pn?n表示元素在P中的n阶方阵的集合） 3.（16分）设A，B?Pn?n，求证：(AB)*?B*A*。
证明：
（1）当AB?0时，这时有A?0,B?0，由公式A*?AA?1，可得
(AB)*?AB(AB)?1?BB?1AA?1?B*A*。结论成立
（2）当AB?0时，考虑矩阵A(?)?A??E,B(?)?B??E，由于A、B都最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个?，使得 A(?)?0,B(?)?0 ① 那么有上面（1）的结论有 (A(?)B(?))*?(B(?))*(A(?))* ②
令(A(?)B(?))*?(fij(?))n?n,(B(?))*(A(?))*?(gij(?))n?n 由②式有 fij(?)?gij(?) ③ 由于有无穷多个?使①式成立，从而有无穷多个?使③式成立，但
fij(?),gij(?)都是多项式，从而③式对一切?都成立。特别令??0，有
(AB)*?(A(0)B(0))*?B*(0)A*(0)?B*A*。证毕
4.（题（1）为15分，题（2）为5分，共20分）
实二次型f(x1,x2,x3)?x12?ax22?x32?2bx1x2+2x1x3?2x2x3经正交线性替换
(x1,x2,x3)T?P(y1,y2,y3)T化为标准型y12?2y22。 （1）求a,b及正交矩阵P；
（2）问二次型f是正定的吗？为什么？
5.（16分）设A，B?Pn?n且秩(A)?秩(B)?n。证明：存在n阶可逆矩阵M使得AMB?0。
证明：设矩阵A，B的秩分别为r1,r2。对于矩阵A，B，存在着可逆的n级矩阵P1,Q1,P2,Q2，使得 PAQ11??r1,P2BQ2??r2，则
?1?1AQ1?P?r1,P2B??r2Q2 1?1?1 (AQ1)(P??Q?0，令AMB?0，则有AMB?0成立。2B)?AQ1P2B?Prr2112 6.（16分）设A是n阶复矩阵，且存在正整数m使得Am?E（这里E是n阶单位阵）。证明：A与对角矩阵相似。
7.（每小题9分，共18分）设V?Pn?n看成P上的线性空间。取定（1）?是VA,B,C,D?Pn?n。对任意X?Pn?n，令?(x)?AXB?CX?XD。求证：的线性变换；（2）当时C?D?0，?可逆的充要条件是AB?0。
8.（16分）设?是线性空间V的线性变换且?2??。令V1??(V),V2???1(0)。证明：V?V1?V2且对每个??V1有?(a)?a。
9.（16分）设V是n维欧氏空间，V1,V2是V的子空间，且dimV1?dimV2。证明：V2中存在一个非零向量，它与V1中任一个向量正交。
detA?detA2?detA3?detA4??
而秩A是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去， 必然存在一个正整数m，使detAm?detAm?1
浙 江 大 学
二〇〇四年攻读硕士研究生入学考试试题
考试科目：数学分析
一．（15分）设函数f(x)在区间X上有定义。试证明：f(x)在X上一致连续的充要条
(?x'm件是对区间X上任意的两数列{xn'}与{xm'}，当limxnn???')时，有
lim(f(xn')?f(xm'))?0。
n??二．（15分）设函数f(x)在区间(?1,1)内具有直到三阶的连续导数，且f(0)?0，
?f'(x)1lim?0。试证明：?nf()绝对收敛。 x?0xnn?2三．（15分）设函数f(x)在区间[a,b]上可微，且f(x)在a点的左导数f?'(a)?0，在b点的右导数f?'(b)?0，f(a)?f(b)?c。证明：f'(x)在(a,b)内至少有两个零点。
四.（15分）设函数f(x)在区间[a,b]上Riemann可积，且在闭区间[?,?]?[a,b]使得当x?[?,?]时，f(x)?0。
?baf(x)dx?0。试证明：存
五.（15分） 证明：若一族开区间{Ia}覆盖了闭区间[0,1]，则必存在一正数??0，使得[0,1]中任何两点x',x''满足x'?x''??时，必属于某个开区间I??{I?}。 六.（15分）用球面坐标x?rsin?cos?,y?rsin?sin?,z?rcos?变换方程
?2u?2u?2u?2?2?0 2?x?y?z七.（10分）计算：?2?0xsinxdx。 21?cosx222x2y2z21下的最大最小值，其中八.（15分）求u?x?y?z在条件2?2?2?abca?b?c?0。
九．（15分）利用公式12?x???0e?xydx (x?0) 计算积分
2??01?sinxsin(x)dx??dx的值。（说明计算过程中每一步的合理性）
20x23
十．（20分）（1）设?为R中光滑区域，??为其边界，u,v在????上有连续二阶导数。证明：
???(u?v?v?u)dxdydz???(u????v?u?v)dS ?n?n??2?2?2其中为沿边界??外法线方向的导数，dS为边界上的面积元，??2?2?2。
?n?x?y?z （2）P?R的坐标为(?,?,?)，函数 r(x,y,z)?((x??)?(y??)?(z??)) 证明：?32221?0在R3\\{P}上成立。 r （3）设B(P,?)是以P为中心?为半径的球，?B(P,?)为其边界。若在B(P,?)上u满足
?u?0，则u(P)?14??2?B(P,)???udS。
南京大学硕士研究生入学考试数学分析试题
2000年
一、求下列极限
1）设xn?1?3(1?xn)，（x1?0为已知），求limxn；
n??3?xn222）lim(x2?y2)xx?0y?0y；
??3）lim?x?0xcostdt； 2t14）lim1r?0?r2x2?y2?2r2xy2ecos(x?y)dxdy. ??2二、设f(x)在??1.1?上有二阶连续偏导数，f(0)?0，令g(x)?f(x)，x?x?0?,g(0)?f?(0)，证明
1）g(x)在x?0处连续，且可导，并计算g?(0)； 2）g?(0)在x?0处也连续.
三、设fn(t)?(1?e)e?tsin3t，?t?0?，试证明
1）函数序列?fn?t??在任一有穷区间?0,A?上和无穷区间?0,???上均一致收敛
于0；
t???3n??t1?eesintdt?0. 2）lim???n???0?????tn四、设对任一A>0,f(x)在?0,A?上正常可积，且
x?????f(t)dt?0收敛，令
0?(x)??f(t)dt??f(t)dt,?x?0?,试证明?(x)在?0,???内至少有一个零点.
0x?五、计算积分I(a)??ln?a2cos2x?sin2x?dx,(a?0).
02x?x2?六、试求指数?，使得rdx?2rdy为某个函数u?x,y?的全微分，并求u?x,y?，
yy其中r?x2?y2.
七、计算下列曲线积分和曲面积分
1)I??x?2y3zdx?x?2ydy??x?y?z?dz,其中c为x2?2y2?1与
c????x2?2y2??z的交线，从原点看去是逆时针方向.
2)I???x2dydz?y2dzdx?z2dxdy,S:?x?a???y?b???z?c??R2.
222S八、设un(x)?xnlnx,x??0,1?
1) 试讨论?un(x)在?0,1?上的收敛性和一致收敛性；
n?1???n?2) 计算???xlnxdx?.
0?n?1?1???2x2???exp???t?2??,t?0,x?0九、设f(x,t)?? t??????0,t?0,x?0 I(x)??f(x,t)dt (x?0)0?1）讨论I(x)在?0,???上的一致收敛性，并证明
x?0?limI(x)??e?xdx?0??2?2
2）计算I(x).2001年数学分析
一、求下列极限 1） 设a1?0,an?an?1?3,(n?2),求liman；
n??4x?1y?21??2） lim?x?2?e?x????y?y?0??；
b3） 设f(x)?C?A,B?,A?a?b?B,试求limh?0?af(x?h)?f(x)dx
h4） 设f(x)在(0,1)内可导，且|f?(x)|?1,?x?(0,1),令xn?f()(n?2)，试证明limxnn??1n存在有限 二、设g(x)?C2(??,??),g(0)?1,令