?g?(0),当x?0时? f(x)??g(x)?cosx,当x?0时?x?1） 讨论f(x)在x?0处的连续性；
2） 求f?(x),并讨论f?(x)在x?0处的连续性.
三、设f(x)?C1?0,1?,f(0)?0,0?f?(x)?1,?x??0,1?,试证明对一切t??0,1?，成立
t?t?3??f(x)dx????f(x)?dx
0?0?2四、求下列积分
e?xsinxdx； 1） 计算反常积分I??x02） 计算曲面积分I?222xdydz?ydzdx?zdxdy，其中??S??S为锥面
h22z?2x?y2,0?z?h那部分的外侧
a2???2x(?1)n五、求f(x)?arctan在x?0处的幂级数展开式，并计算S??之值 21?xn?02n?1六、设xn?1?k?xn,k?1,x1?0.
1?xn?1) 证明级数
??(xn?0n?1?xn)绝对收敛；
2) 求级数
??xn?1n?1?xn?之和.
??t4?322???2??????,?七、设I(?,?)??exp?，其中满足不等式. dt??2??2?4??01） 讨论含参变量积分I(?,?)在区域D:??2?????2） 求I(?,?)在区域D上的最小值.
南京大学2003年数学分析
一、下列极限
22??3上的一致收敛性 41) 设a?0，求lim2) 设x1?nn??1?an；
n??2,xn?1?2?xn,(n?1,2,3,?)，求limxn； 1??x??e. x?x?2的切线，求：
x23) lim?1?n?????二、过p(1,0)点作抛物线y?1） 切线方程；
2） 由抛物线、切线及x轴所围成的平面图形面积； 3） 该平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周的体积。
三、对任一y0?0,求?(x)?y0x0(1?x)在（0,1）中最大值，并证明该最大值对任一
yy0?0, 均小于任一e?1。
四、设f(x)在[0,??)上有连续导数，且f?(x)?k?0,f(0)?0，试证：
f(x)在(0,??)内仅有一个零点。 五、计算下列积分
ln(1??x)dx(??0)，求I?(?)和I(1); 201?xxdydz?ydzdx?zdxdy22222） I???，其中S为上半球面x?y?z?a(z?0)31） 设I(a)??1S(x2?y2?z2)2的外侧。
n??(1?x),当0?x?1f(x)在[?1,1]上（R）可积. 六、设?n(x)??nx??e,当?1?x?01） 求lim2） 求lim?n???n(x)，并讨论{?n(x)}在[?1,1]上的一致收敛性；
n???n1?1f(x)?n(x)dx（要说明理由）
n七、设f(x)??an?0k令fn(x)??akx，试证明f(fn(x))在[a,b] x的收敛半径R???，nk?0上一致收敛于f?f(x)?，其中[a,b]为任一有穷闭区间.
2005年硕士学位生入学考试试题（A）
考试科目：高等代数（满分： 150分）
选择填空（2分?10=20分）
1. 欧氏空间的度量矩阵一定是-------.(A) 正交矩阵；
(B) 正定矩阵；C) 上三角矩阵；(D) 下三角矩阵.
2. n级实矩阵A被称为正交矩阵是指--------.
A'是A的转置)；(A)AA'?A'A (其中，(B) AA'?A'A?E (其中，E 是单位矩阵)；
(C)A*A?E （其中，A*是A的伴随矩阵）；(D) AA*?A*A.
3. 设A是复数域上线性空间V的一个线性变换，则在V中必存在一组
基，使A在这组基下的矩阵是--------矩阵.
(A) 单位；(B) 对角；(C) Jordan (若尔当)；(D) 正交.
4. 对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级--------矩阵T，使
得T?1AT?T'AT成为对角形。
(A) 上三角；(B) 对称；C) Jordan (若尔当)；(D) 正交.
5. 设A是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的子空间，如果对
于W中任意向量?有A??W，则称W是A的--------子空间. (A) 非平凡；(B) 不变；(C) 核；(D) 零.
6. 对一个s?n矩阵A作一初等行变换，就相当于在A的-------边乘上相应的初等矩阵.
(A) 左边；(B) 右边；(C) 两边；(D) 左边或右边. 7. 欧氏空间V的线性变换A被称为正交变换是指：对任意的?,??V，都有-------.
(A) |A?|?|A?|；(B) (A?,A?)?(?,?)；(C) (A?,A?)?(A?,A?)； (D) |A?|?|A?|?1 .
?x1????x2?8. 设A是数域P上的s?n矩阵且秩(A)?r，X???. 若方程组
???x???n?AX?0有非零解，则它的基础解系所含解的个数为-------个. (A) n；(B) r；(C) n?r；(D) 0 .
9. A是数域P上的n级矩阵，A*是A的伴随矩阵，则A*A?AA*?-------. (A) 单位矩阵E ；(B) |A|E ； (C) |A?1|E ；(D)
E. |A|10. 设A是数域P上的s?n矩阵,如果B是n级可逆矩阵，则
秩(A)------- 秩(AB).
(A) ? ；(B) ? ；(C) ? ；(D) ? .
二．（30分）
1. （7分）设p是奇素数，试证xp?px?1在有理数域上不可约. 2. （8分）
判断x?2是f(x)?x5?6x4?11x3?2x2?12x?8的几重根. 3．（5分）
设A是数域P上线性空间V的线性变换，?1,?2是A的特征值，而且
?1??2. V?1,V?2分别是对应于?1,?2的特征子空间，试证：V?1?V?2是直
和.
4. （5分）
?122???设A??212?,已知A的3个特征向量: 对应于特征值?1?5的特征向
?221????1???量为?1??1?, 对应于特征值?2??1的特征向量为,
?1???1?0????????2??0?,?3??1?. 试计算Ak，其中k是自然数.
??1???1?????5. （5分）
设V是数域P上的一个3维线性空间，?1,?2,?3是它的一组基，f是V 上的一个线性函数，已知
f(?1??3)?1,f(?2?2?3)??1,f(?1??2)??3.
求：f(x1?1?x2?2?x3?3).
三. （10分）
用非退化线性变换化下列二次型为规范形,并写出所作的线性变换:
22f(x1,x2,x3)?x1?x3?2x1x2?2x2x3
四. （10分）
?1t5???设A??t43?，试证：t取任何实数都不能使A为正定矩阵.
?531???五. （10分）
????设A????????10?0?????1?0?????????00?是n级矩阵且???，试证：
??????0?1?????0?0?000?n?1??n?1A的行列式A?.
???六. （10分）
设?1?(1,2,?1,?2) ，?2?(3,1,?1,1)，?3?(?1,0,1,?1)，?1?(2,5,?1,?5)，由?j,j?1,2生成的子空间?2?(?1,2,?2,3). 由?i,i?1,2,3生成的子空间记为W1，记为W2.
(1) 求W1?W2的维数; (2) 求W1?W2的一组基. 七. （10分）
设?1,?2,?3,?4 是4维线性空间V的一组基,已知线性变换A在这组基下的矩
0?1???12阵为?12??2?2?八. （15分）
21??13?, 求A的核及值域. ?55?1?2??2?2??2??5?4?，求正交矩阵T使得T?1AT成为对角矩阵. 设A??2??2?45???九. （10分）
a,b取什么值时,线性方程组
?x1?x2?x3?x4?x5?1?3x?2x?x?x?3x?a?12345 ?x?2x?2x?6x?3345?2??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?b
有解？在有解的情形求一般解 十. （10分）
?x1????x2?设?i?(ai1,ai2,?ain),i?1,2?s, ??(b1,b2,?bn),A?(aij)sn,X???, 如果线
???x???n?性方程组AX?0的解全部是b1x1?b2x2???bnxn?0的解. 试证?可由
?1,?2??s线性表出.
十一. （7分）
在数域P上n级方阵的全体Pn?n中, 求出所有仅与自己相似的方阵
十二. （8分）
?A设分块矩阵??B'?证明：
1）A可逆；
B?'?为正定矩阵，其中是B的转置. B?D?2）D?B'A?1B也正定.