变得从容自如，巧解速解物理问题，从而提高学习的效率。
【例6】随着生活水平的提高，伴随着心血管病也比以前增加了．为了提高生活质量，延长人的寿命，掌握心血管健康活动的常识就显得十分重要，心脏在人的一生之中之所以能够 不停地跳动而不疲倦，其原因之一在于它的活 动具有节律性，图中是心脏每跳动一次，心房和心室的舒张、收缩情况：
（1）从图分析，心脏在人的一生中不停地跳动，为什么不会疲倦？
（2）如果有人心率为75次／min，则每搏的输出量为70ml，每分钟输出量为 ，一般情况下，长跑运动员与正常人相比，心率较慢，但 较多，所以能满足运动时的供血．
（3）如果有人的心率为 75次／min，则心脏每跳动一次所需的时间是 ，心房、心室共同处于 期，所占的时间约为
（4）若某人的心脏每分钟跳动75次，心脏收缩压为135mmHg（lmmHg＝133．322Pa）收缩一次输出血量平均为70ml，那么心脏收缩时的平均功率有多大？
解析：（1）从图中可以看出，如果心率是75次／min，其中心房只工作（收缩）了0．1s，休息（舒张）了0．7s，心室工作了0．3s，休息了0．5s，可见心脏每跳动一次，心房、心室的舒张期比收缩期长，心脏有充分休息的时间，因此人的一生，心脏不停地跳动而不知疲倦．
（2）5250ml（每搏输出量是指心脏跳动一次，心脏收缩时向动脉输出的血量，每收缩一次输出70ml，每分输出量为70×75=5250ml）
经常参加体育锻炼的人，心肌发达，搏动有力，每搏输出量比一般人要大． （3）0．8s 舒张0．4s（心脏每分钟跳动的次数叫心率） （4）心脏收缩一次做功：W=P·ΔV
∵P=135mmHg＝1．8×10Pa ΔV＝70ml＝7×10m
4
－5
3
4
－53
∴W＝1．8×10Pa×7×10m＝1．26J ∴每分钟，心脏做功W=75×1．26=94．5J ∴心脏收缩时平均功率为P=94．5/60=1．6W 3、汽车起动问题分析
(1)当以恒定功率运动时，做加速度越来越小的变加速直线运动，a=
/
fP－，当F牵＝f时，vmm加速度a＝0，此时的速度为最大速度．所以vm=p/f，以后机车做匀速直线运动。
(2)欲使汽车从静止开始做匀加速直线运动，一开始不能用额定功率，功率必须随着速度增加而增加，使P/v=F恒定；这种运动持续一段时间后．汽车又做加速度越来越小的加速运动，最后达到最大速度vm，所以求匀加速直线运动的时间不可用t=vm/a，必须用v=P额/F ，而t=v/a， 由此得：t= P额/Fa
【例7】质量为lkg的机械与平面间摩擦力f=2N，其额定功率为12 W，要使它以a＝lm／s的
2
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加速度做匀加速直线运动，问做这种运动的最长时间为多少？
错解：vm＝P/f＝6m／s， t=vm/a=6s
解析：以上做法错在何处，我们进行如下的分析：要使a＝lm／s，必须F＝f＋ma＝3N 要使F=3N速度最大为v=P/F=4m／s 所以做匀加速直线运动的时间为t=v/a=4s
这里可做这样的检验：当速度大于4m／s 时，不妨设为5 m／s ；F=P/v=2．4N，则加速度a=（F－f）/m=0．4 m／s，显然不是匀加速直线运动了，所以一旦速度大于4m／s 时，由于功率不再增加，加速度则变小，做的是加速度越来越小的加速直线运动，直到加速度为零，之后做匀速运动．答案：4 s
点评（1）此类问题关键是发动机的功率是否达到额定功率，若在额定功率下起动，则一定是交加速运动，因为牵引力随速度的增大而减小．求解时不能用匀变速运动的规律来解．具体变化过程可用如下示意图表示．
（2）特别注意匀加速起动时，牵引力恒定．当功率随速度增至预定功率时的速度（匀加速结束时的速度），并不是车行的最大速度．此后，车仍要在额定功率下做加速度减小的加速运动．（这阶段类同于额定功率起动）直至a=0时速度达到最大．具体变化过程可用如下示意图
2
2
恒定功率启动 速度V↑ PF=定↓ v?a=F??f? m当a=0即F=f时，v达到最大vm 保持vm匀速 ∣→→→变加速直线运动→→→→∣→→→匀速直线运动→→→????? 恒定加速度启动 F?f定am即F一定 定=P↑=F定v↑即P随v的增大而增大 当P=P额时a定F?f=定≠0，vm还要增大 F=P额v?F??fa=? m? 当a=0时，v达到最大vm，此后匀速 ∣→→→匀加速直线运动→→→→∣→→→→变加速（a↓）运动→→→→∣→匀速运动→
【例】一辆汽车在平直的公路上以速度v0开始加速行驶，经过一段时间t，前进了距离s，此时恰好达到其最大速度Vm.设此过程中汽车发动机始终以额定功率P工作，汽车所受的阻力恒定为F，则在这段时间里，发动机所做的功为（ ）
A、 Fvmt；B、Pt；C、?mvm＋Fs－?mv0；D、Ft2
2
v0?vm； 22
2
解析：汽车在恒定功率作用做变牵引力的加速运动，所以发动机做功为变力做功，根据P=W/t可求得W=Pt，而P=Fv=Fvm，所以W= Fvm t；根据能量守恒：W＋?mv0=?mvm＋Fs
/
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所以W=?mvm＋Fs－?mv0；答案：ABC 思考：为何用s?vt??22
v0?vmv?vt,得到w?Fs?Ft0m不正确？错在哪里？ 222
【例】质量为m = 4000kg的卡车，额定输出功率为P=60 kW。当它从静止出发沿坡路前进时，每行驶100 m，升高5m，所受阻力大小为车重的0.1倍，取g=10 m/s .
试求：(1)卡车能否保持牵引力为8000 N不变在坡路上行驶？
(2)卡车在坡路上行驶时能达到的最大速度为多大？这时牵引力为多大？
(3)如果卡车用4000 N牵引力以12m/s的初速度上坡，到达坡顶时，速度为4 m/s,那么卡车在这一段路程中的最大功率为多少？平均功率是多少？
分析:汽车能否保持牵引力为8000 N上坡要考虑两点：第一，牵引力是否大于阻力？第二，汽车若一直加速，其功率是否将超过额定功率，依P=Fv解。本题考查了汽车牵引力恒定时功率的计算。不少同学在得到F > f + mgsinθ后，立即做出结论：汽车可以保持牵引力8000 N不变上坡；而没有考虑到汽车由于加速，速度不断增大，其功率不断增大，如果坡路足够长，这种运动方式是不允许的。
解：分析汽车上坡过程中受力情况如图所示：牵引力F,重力mg＝4×10N，f＝kmg＝4×10 N，支持力N，依题意sinθ＝5/100。
（1）汽车上坡时，若F＝8000N,而f＋mgsinθ＝4×10＋4×10×1/20＝6×10 N,即F> f +mgsinθ,汽车将加速上坡，速度不断增大，其输出功率P=Fv也不断增大，长时间后，将超出其额定输出功率，所以，汽车不能保持牵引力为8000N不变上坡。
(2)汽车上坡时，速度越来越大，必须不断减小牵引力以保证输出功率不超过额定输出功率，当牵引力F= f + mgsinθ=6×10 N时，汽车加速度为零，速度增大到最大，设为vm，则P＝Fv＝（f＋mgsinθ）·vm；
3
3
4
3
4
3
P60?103vm???10m/s,F= f + mgsinθ=6×103 N
f?mgsin?6000（3）若牵引力F=4000N，汽车上坡时，速度不断减小，所以最初的功率即为最大，P=Fv=4000×12=48×10w。整个过程中平均功率为P?Fv?4000?3
??12?43
=32×10W 24、实际问题中的功率
【例8】推动节水工程的转动喷水“龙头”。如图所示，龙头距地面h，其喷灌半径可达10h，每分钟喷水质量为m，所用水从地面下H的井中抽取，设水以相同的速率喷出，水泵的效率为η，水泵的功率P至少多大？
解析:水泵对水做功，用来增大水的重力势能和动能．
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设水喷出时速度为v，则h=?gt,10h=vt;解得v?10h2
2h?52gh g每分钟内水泵对水做的功W＝mg（H＋h）＋?mv=mg(H+26h)，又W=ηPt,∴
2
p?wmg?H?26h?? ?t60?【例9】一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆
弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投上后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。己知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N，这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P。
【解析】以地面为参考（下同），设传送带的运动速度为v0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为S，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有：S＝?at??①
v0＝at???②。在这段时间内，传送带运动的路程为：S0= v0t??③，由以上可得S0＝2S??④。用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为：W1=fS=?mv0??⑤；传送带克服小箱对它的摩擦力做功：W0=Fs0=2·?mv0??⑥
两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量：Q=?mv0??⑦ 可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。 T时间内，电动机输出的功为：W=PT??⑧
此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热,即W=?Nmv0十Nmgh＋NQ??⑨ 已知相邻两小箱的距离为L，所以：v0T＝NL??⑩
2
22
2
2
Nm?N2L2??gh联立⑦⑧⑨⑩得P??。 2T??T?
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一、动能
如果一个物体能对外做功，我们就说这个物体具有能量．物体由于运动而具有的能． Ek＝?mv，其大小与参照系的选取有关．动能是描述物体运动状态的物理量．是相对量。
二、动能定理
做功可以改变物体的能量．所有外力对物体做的总功等于物体动能的增量． W1＋W2＋W3＋??＝?mvt－?mv0
1．反映了物体动能的变化与引起变化的原因——力对物体所做功之间的因果关系．可以理解为外力对物体做功等于物体动能增加，物体克服外力做功等于物体动能的减小．所以正功是加号，负功是减号。
2．“增量”是末动能减初动能．ΔEK＞0表示动能增加，ΔEK＜0表示动能减小．
3、动能定理适用单个物体，对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理．由于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能（比如内能）的转化．在动能定理中．总功指各外力对物体做功的代数和．这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦力、电场力等．
4．各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不同时，分别求力做功，然后求代数和． 5．力的独立作用原理使我们有了牛顿第二定律、动量定理、动量守恒定律的分量表达式．但动能定理是标量式．功和动能都是标量，不能利用矢量法则分解．故动能定理无分量式．在处理一些问题时，可在某一方向应用动能定理．
6．动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的．但它也适用于变为及物体作曲线运动的情况．即动能定理对恒力、变力做功都适用；直线运动与曲线运动也均适用．
7．对动能定理中的位移与速度必须相对同一参照物． 三、由牛顿第二定律与运动学公式推出动能定理
设物体的质量为m，在恒力F作用下，通过位移为S，其速度由v0变为vt， 则：根据牛顿第二定律F=ma??① 根据运动学公式2as=vt一v0??② 由①②得：FS=?mvt－?mv0
四．应用动能定理可解决的问题
恒力作用下的匀变速直线运动，凡不涉及加速度和时间的问题，利用动能定理求解一般比用牛顿定律及运动学公式求解要简单的多．用动能定理还能解决一些在中学应用牛顿定律难以解决的变力做功的问题、曲线运动等问题．
【例1】如图所示，质量为m的物体与转台之间的摩擦系数为μ，物体与转轴间距离为R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物体开始在转台上滑动，此时转台已开始匀速转
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三、 动能 动能定理